Tính tổng \(S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + ... + \frac{1}{{{3^n}}} + .....\).

Đặt \(f\left( x \right) = m(11 - x) - 12{x^{2023}} + {x^{2024}}\)

\(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Ta có \(\) \(f\left( {11} \right) = {11^{2023}}( - 12 + 11) < 0\) (1)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty \Rightarrow \exists a < 11;f(a) > 0\) (2)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \Rightarrow \exists b > 11;f(b) > 0\) (3)

Từ (1) và (2); (1) và (3) suy ra phương trình có ít nhất 2 nghiệm thuộc các khoảng \(\left( {a;11} \right)\); \(\left( {11;b} \right)\)

Suy ra với mọi số thực m; phương trình \(m(11 - x) - 12{x^{2023}} + {x^{2024}} = 0\)có ít nhất 2 nghiệm thực