Cho bốn điểm \(A,B,C,D\) không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên \(AB,AD\) lần lượt lấy các điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(MN\) cắt \(BD\) tại \(E\). Điểm \(E\) không thuộc mặt phẳng nào sau đây?

Ta có \(M\) là điểm trên cạnh \(SB\), \(\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{1}{3}\) nên \(\frac{{MB}}{{MS}} = 2\).

\(IK//BD\) nên \(IK//\left( {SBD} \right)\). Suy ra \(\left( {SBD} \right) \cap \left( {SIK} \right) = Sx,Sx//IK//BD\).

Trong \(\left( {SBD} \right),DM \cap Sx = N\). \(N\)là giao điểm của \(DM\) và \(\left( {SIK} \right)\).

Trong \(\left( {SBD} \right)\), có \(Sx//BD\) nên hai tam giác \(SMN\) và \(BMD\) đồng dạng.

Do đó \(\frac{{MD}}{{MN}} = 2 \Rightarrow \frac{{ND}}{{NM}} = 3\).

Trả lời: 3.

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), kẻ \(SN//MO\left( {N \in AC} \right)\).

Khi đó \(N\) là hình chiếu của điểm \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)theo phương chiếu \(MO\).

Vì \(MO//SN\) nên \(\frac{{AM}}{{MS}} = \frac{{AO}}{{ON}} = 2 \Rightarrow \frac{{OC}}{{ON}} = 2 \Rightarrow \frac{{CN}}{{CA}} = \frac{1}{4} = 0,25\).

Trả lời: 0,25.