Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2{x^2} + 3x - 27}}{{x - 3}} & \,\,{\rm{khi}}\,x > 3\\ - x + 18 & \,\,{\rm{khi}}\,x \le 3\end{array} \right.\) tại \(x = 3\).

Quãng đường mỗi lần rơi xuống của quả bóng lập thành cấp số nhân có \({u_1} = 64\,;\,q = \frac{1}{2}\)

Tổng quãng đường rơi xuống sau 7 lần chạm đất của quả bóng là \({S_7} = \frac{{{u_1}.({q^7} - 1)}}{{q - 1}} = 127\) (m)

Quãng đường mỗi lần nảy lên của quả bóng lập thành cấp số nhân có số hạng đầu \({v_1} = 32\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Tổng quãng đường nảy lên 6 lần là \[{s_6} = \frac{{{v_1}.({q^6} - 1)}}{{q - 1}} = 63\] (m). Vậy tổng quãng đường là 190 (m).

Đặt \(S = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^n}\).

Dễ thấy \(S\) là tổng của \(n + 1\) số hạng đầu của một cấp số nhân với \({u_1} = 1\); \({u_2} = 2\); công bội \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2\).

Do đó \(S = {u_1}.\frac{{1 - {q^{n + 1}}}}{{1 - q}} = 1.\frac{{1 - {2^{n + 1}}}}{{1 - 2}} = {2.2^n} - 1\).

Suy ra \[\lim \frac{{1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^n}}}{{{2^n} + 1}} = \lim \frac{{{{2.2}^n} - 1}}{{{2^n} + 1}} = \lim \frac{{2 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}} = 2\].