Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2{x^2} + 3x - 27}}{{x - 3}} & \,\,{\rm{khi}}\,x > 3\\ - x + 18 & \,\,{\rm{khi}}\,x \le 3\end{array} \right.\) tại \(x = 3\).

Với \(n = 5\) ta có \({x_5} = 75 + 9.4 = 111\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Vậy một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao khi 5 tuổi là \(111\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Đặt \(S = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^n}\).

Dễ thấy \(S\) là tổng của \(n + 1\) số hạng đầu của một cấp số nhân với \({u_1} = 1\); \({u_2} = 2\); công bội \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2\).

Do đó \(S = {u_1}.\frac{{1 - {q^{n + 1}}}}{{1 - q}} = 1.\frac{{1 - {2^{n + 1}}}}{{1 - 2}} = {2.2^n} - 1\).

Suy ra \[\lim \frac{{1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^n}}}{{{2^n} + 1}} = \lim \frac{{{{2.2}^n} - 1}}{{{2^n} + 1}} = \lim \frac{{2 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}} = 2\].