Cho tam giác đều \({A_1}{B_1}{C_1}\) có cạnh bằng \(a = 4\) và có diện tích \({S_1}.\) Nối các trung điểm các cạnh được tam giác đều \({A_2}{B_2}{C_2}\) và có diện tích \({S_2}\) (như hình vẽ). Tiếp tục như thế ta được dãy các tam giác đều. Tính tổng \(S = {S_1} + {S_2} + ...\)

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số sau liên tục tại \({x_0} = 2\)

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}\,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} khi\;\;x \ne 2\\ - mx + 2023\;\;\;khi\;\;x = 2\end{array} \right.\)

Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Nếu mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa \(a\) và cắt \(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến \(b\) thì  và  là hai đường thẳng

Số mặt của hình lăng trụ tam giác là

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \[{u_n} = \frac{n}{{{2^n}}}\]. Chọn đáp án đúng.

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\)là hình thang, \(AD//BC;\;AD = 2BC\) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) \(M\) là điểm trên cạnh \(AD\) sao cho \(MD = 2MA\) và \(N\)là điểm trên cạnh \(SD\) sao cho \(ND = 2NS\)

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\)

b) Chứng minh \(MN\) song song với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\)

c) Gọi là \(K\) giao điểm của \(SC\)với \(\left( {OMN} \right)\) Tính tỉ số \(\frac{{SK}}{{SC}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 2{x^3} - 3x + 3} \right)\)bằng