Cho các dãy số\[{u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\] và \[{v_n} = \frac{2}{{n + 2}}\]. Tính \[\lim \frac{{{v_n}}}{{{u_n}}}\]

Kết quả của phép tính \[\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\] bằng

Với k là một số thực không đổi \[\left( {k \ne 0} \right)\], kết quả của phép tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(x + k)}^2} - {k^2}}}{x}\] bằng

Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] nào bên dưới là dãy số giảm ?

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC và tam giác SCD.

1. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SMN) với mặt phẳng (ABCD).

2. Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ABCD).

3.Gọi I là giao điểm của SA với mặt phẳng (CMN). Tính tỷ số \[\frac{{SI}}{{SA}}\].

Dãy số có công thức tổng quát nào bên dưới là dãy số không có giới hạn ?

Tìm các giới hạn sau :

            1.\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {4x + 1} - 3}}{{x - 2}}\].                                      2.\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sin x}}{{{x^2} + 2023}} + \frac{{x + 4}}{{x + 2}}} \right)\].

Giải các phương trình lượng giác sau :

1.\[\sin \left( {2{\rm{x}} - \frac{\pi }{3}} \right) = 1\].                                   2.\[\cot \left( {3{\rm{x}} + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 3 \].