a) Tính giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^4} + 1} }}{{2{x^2} + x}}\).

b) Quãng đường của một vật chuyển động có công thức \(s\left( t \right) = 2{t^2} + t + 3\), trong đó \(s\) tính bằng mét và \(t\) là thời gian tính bằng giây.

Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{s\left( t \right) - s\left( 3 \right)}}{{t - 3}}\) được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \({t_0} = 3\). Tính giới hạn này.

a) Tính giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^4} + 1} }}{{2{x^2} + x}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^4} + 1} }}{{2{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^4}}}} }}{{2 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{2}.\)

b) Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{s\left( t \right) - s\left( 3 \right)}}{{t - 3}}\).

Ta có:           \(s\left( 3 \right) = 24\)

\(\mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{s\left( t \right) - s\left( 3 \right)}}{{t - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{2{t^2} + t - 21}}{{t - 3}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{2\left( {t - 3} \right)\left( {t + \frac{7}{2}} \right)}}{{t - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{2\left( {t + \frac{7}{2}} \right)}}{1} = 13\).