Trong không gian mặt phẳng \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(d\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Hãy chọn mệnh đề phát biểu đúng trong các mệnh đề dưới đây?

Gọi \(H\) là trung điểm của \(B'C'\), do các tam giác \(\Delta A'B'C',\,\,\Delta AB'C'\) lần lượt cân đỉnh \(A'\) và \(A\) nên \(AH \bot B'C'\), \(A'H' \bot B'C'\)

Suy ra: \(\widehat {\left( {\left( {AB'C'} \right),\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {\left( {AB'C'} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AH,A'H} \right)} = \widehat {AHA'}\)

Xét tam giác:\[AHA'\] có \(\widehat {A'} = {90^0},A'H = a\sqrt 3 \) và \(\tan \widehat {AHA'} = \frac{{AA'}}{{A'H}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) \( \Rightarrow \widehat {AHA'} = {30^0}\).

Vậy số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({30^0}\).

Gọi \[G\]là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Vì hình chóp \[S.ABC\] đều nên \(SG \bot \left( {ABC} \right)\).

Ta có: \[GM\] là hình chiếu của \[SM\] trên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] nên \(SM \bot BC\).

Lại có:\[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SM \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right)\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SMA} = \widehat {SMG}\].

Xét \[\Delta ABC\]đều có \[AM\] là đường trung tuyến, \[G\] là trọng tâm nên \[GM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]

Tam giác \[SMB\] vuông tại \[M\] nên:

\[S{M^2} = S{B^2} - B{M^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{6}} \right)^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{3} \Rightarrow SM = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\].

Tam giác \[SGM\] vuông tại G nên: \[\cos \widehat {SMG} = \frac{{GM}}{{SM}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\frac{{\sqrt 3 }}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SMG} = {60^ \circ }\].

a) Đúng: Đường thẳng \(SG\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

b) Đúng: Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \[\widehat {SMA}\].

c) Sai: Đoạn thẳng \(SM\) có độ dài bằng \(\frac{a}{{\sqrt 3 }}\)

d) Đúng: Giá trị góc \(\alpha \) giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và \[\left( {ABC} \right)\] bằng \({60^0}\).