Một khối lăng trụ có thể tích bằng \[V\], diện tích mặt đáy bằng \[S\]. Chiều cao của khối lăng trụ đó bằng

Do \[\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}\] nên hàm số đã cho xác định \[ \Leftrightarrow 2{x^2} + mx + 2 > 0\].

Hàm số đã cho xác định với mọi \[x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow 2{x^2} + mx + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta  = {m^2} - 16 < 0\]

\[ \Leftrightarrow  - 4 < m < 4\].

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2;...;2;3} \right\}\) nên có \(7\) giá trị \(m\).

Theo bài ra ta có để chi phí thuê nhân công là thấp nhất thì ta phải xây dựng bể sao cho tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy là nhỏ nhất.

Gọi ba kích thước của bể là \[a\], \[2a\], \[c\]\[\left( {a\left( m \right) > 0,\,c\left( m \right) > 0} \right)\].

Ta có diện tích các mặt cần xây là \[S = 2{a^2} + 4ac + 2ac = 2{a^2} + 6ac\].

Thể tích bể \[V = a.2a.c = 2{a^2}c = 2304\]\[ \Rightarrow \]\[c = \frac{{1152}}{{{a^2}}}\].

Suy ra \[S = 2{a^2} + 6a.\frac{{1152}}{{{a^2}}} = 2{a^2} + \frac{{6912}}{a} = 2{a^2} + \frac{{3456}}{a} + \frac{{3456}}{a} \ge 3.\sqrt[3]{{2{a^2}.\frac{{3456}}{a}.\frac{{3456}}{a}}} = 864\].

Vậy \[{S_{\min }} = 864{m^2}\], khi đó chi phí thấp nhất là \[864.600000 = 518.4\] triệu đồng.