Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\). Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\)?

Trả lời: 1

Lời giải

Gọi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) là \(\left( C \right)\).

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x\)

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) là tiếp điểm. Suy ra phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \(M\) là

\(y = \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + 2\) (d).

Vì \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\) nên \(\left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {1 - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + 2 = 0\)

\(\left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {1 - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {1 - {x_0}} \right) + \left( {{x_0} - 1} \right)\left( {x_0^2 - 2{x_0} - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x_0} - 1} \right)\left( { - 2x_0^2 + 4{x_0} - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\ - 2x_0^2 + 4{x_0} - 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow {x_0} = 1\).

Suy ra có \(1\) tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\).