Trong mặt phẳng với hệ trục \[Oxy\] cho đường tròn \[\left( C \right):\,{\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\]. Đường tròn \[\left( C \right)\] có tọa độ tâm \[I\] và bán kính \[R\] bằng

Tổng trọng lượng cá thu được sau một vụ là: \(T\left( n \right) = n\left( {360 - 10n} \right) = 360n - 10{n^2}\).

Đây là một tam thức bậc hai với ẩn là \(n\) có hệ số \(a =  - 10 < 0\) và \(b = 360\) \( \Rightarrow \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 360}}{{2.\left( { - 10} \right)}} = 18\)

Khi đó \(T\left( {18} \right) = 3240\).

Vậy người nuôi cần thả \(18\) con cá trên một đơn vị diện tích để đạt tổng trọng lượng cá lớn nhất là \(3240\) (đơn vị khối lượng).

Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 5;1} \right)\) nên đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {n\,}  = \left( {1;5} \right)\).

Phương trình của đường thẳng \(d\) là \(1.\left( {x - 0} \right) + 5.\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 5y - 15 = 0\).

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng \(d\) là \(x + 5y - 15 = 0\)

Đường thẳng \(\Delta \) là trung trực của đoạn thẳng \(BC\) nhận \[\overrightarrow {CB}  = \left( {3;2} \right)\] làm véc tơ pháp tuyến nên véc tơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 3} \right)\). Mà \(\Delta \) đi qua trung điểm \(I\left( { - \frac{3}{2};2} \right)\) của \(BC\) nên \(\Delta \) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{3}{2} + 2t\\y = 2 - 3t\end{array} \right.\) với \(t \in \mathbb{R}\).

Đường thẳng \(AB\) có véc tơ chỉ phương là \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2\,;\,3} \right)\] nên \(AB\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3;2} \right)\) và đi qua điểm \[A\left( {2\,;\,0} \right)\] nên \(AB\) có phương trình là

\(3\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 6 = 0\)

Đường cao ứng với đỉnh \(C\) của tam giác \(ABC\) đi qua điểm \[C\left( {--3\,;\,1} \right)\] và nhận \(\overrightarrow {BA}  = \left( {2; - 3} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là

\(2\left( {x + 3} \right) - 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y + 9 = 0\).

Từ đó dễ thấy đường thẳng này không đi qua điểm \(M\left( {2;3} \right)\).

a) Đúng: Phương trình của đường thẳng \(d\) đi qua \[B\] và song song với \[AC\] là \(x + 5y - 15 = 0\).

b) Đúng: Phương trình của đường trung trực đoạn thẳng \(BC\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{3}{2} + 2t\\y = 2 - 3t\end{array} \right.\) với \(t \in \mathbb{R}\).

c) Sai: Đường thẳng \(AB\) có phương trình là \(3x + 2y + 6 = 0\).

d) Sai: Đường cao ứng với đỉnh \(C\) của tam giác \(ABC\) đi qua điểm \(M\left( {2;3} \right)\).