PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh học tìm được quy luật rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có \(n\) con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng \(P\left( n \right) = 360 - 10n\)(đơn vị khối lượng). Hỏi người nuôi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích để trọng lượng cá sau mỗi vụ thu được là nhiều nhất?

Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 5;1} \right)\) nên đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {n\,}  = \left( {1;5} \right)\).

Phương trình của đường thẳng \(d\) là \(1.\left( {x - 0} \right) + 5.\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 5y - 15 = 0\).

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng \(d\) là \(x + 5y - 15 = 0\)

Đường thẳng \(\Delta \) là trung trực của đoạn thẳng \(BC\) nhận \[\overrightarrow {CB}  = \left( {3;2} \right)\] làm véc tơ pháp tuyến nên véc tơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 3} \right)\). Mà \(\Delta \) đi qua trung điểm \(I\left( { - \frac{3}{2};2} \right)\) của \(BC\) nên \(\Delta \) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{3}{2} + 2t\\y = 2 - 3t\end{array} \right.\) với \(t \in \mathbb{R}\).

Đường thẳng \(AB\) có véc tơ chỉ phương là \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2\,;\,3} \right)\] nên \(AB\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3;2} \right)\) và đi qua điểm \[A\left( {2\,;\,0} \right)\] nên \(AB\) có phương trình là

\(3\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 6 = 0\)

Đường cao ứng với đỉnh \(C\) của tam giác \(ABC\) đi qua điểm \[C\left( {--3\,;\,1} \right)\] và nhận \(\overrightarrow {BA}  = \left( {2; - 3} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là

\(2\left( {x + 3} \right) - 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y + 9 = 0\).

Từ đó dễ thấy đường thẳng này không đi qua điểm \(M\left( {2;3} \right)\).

a) Đúng: Phương trình của đường thẳng \(d\) đi qua \[B\] và song song với \[AC\] là \(x + 5y - 15 = 0\).

b) Đúng: Phương trình của đường trung trực đoạn thẳng \(BC\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{3}{2} + 2t\\y = 2 - 3t\end{array} \right.\) với \(t \in \mathbb{R}\).

c) Sai: Đường thẳng \(AB\) có phương trình là \(3x + 2y + 6 = 0\).

d) Sai: Đường cao ứng với đỉnh \(C\) của tam giác \(ABC\) đi qua điểm \(M\left( {2;3} \right)\).

Phương trình parabol có dạng \({y^2} = {\rm{2}}px\), với \(p > 0\).

Ta có \(\left( P \right):{y^2} = 2x\)\( \Rightarrow p = 1\). Suy ra đường chuẩn \(\Delta :x =  - \frac{p}{2} =  - \frac{1}{2} \Rightarrow x + \frac{1}{2} = 0\).

Ta lại có \(\left\{ \begin{array}{l}M\left( {a;\,b} \right) \in \left( P \right)\\d\left( {M,\Delta } \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = 2a\\\left| {a + \frac{1}{2}} \right| = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = 2a\\a + \frac{1}{2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\{b^2} = 3\end{array} \right.\)

Suy ra \(T = {a^2} + {b^2} = \frac{{21}}{4}\).