Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2,AC = 3,\widehat {BAC} = 60^\circ \).

a) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} \).

b) Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\), \(N\) nằm trên cạnh \(AC\)sao cho \(AN = 2\) và \(P\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C\). Chứng minh rằng ba điểm \(M,N,P\) thẳng hàng.

a) Có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 2 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 3\).

 \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - {\overrightarrow {AB} ^2} = 3 - {2^2} = - 1\).

b) Có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \).

Có \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BP}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \).

Do đó \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MP} \). Suy ra \(M,N,P\) thẳng hàng.