Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\sin \alpha  = \frac{2}{3};0^\circ  < \alpha  < 90^\circ \). Tính giá trị của biểu thức \(P = \tan \alpha  - 3\cos \alpha \).

Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat {BAC} = 90^\circ  + 30^\circ  = 120^\circ \); \(\widehat {ABC} = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ \); \(\widehat {ACB} = 180^\circ  - 120^\circ  - 30^\circ  = 30^\circ \).

Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\), có

\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{70\sin 120^\circ }}{{\sin 30^\circ }} = 70\sqrt 3 \).

Xét \(\Delta AHC\) có \(CH = BC\sin 60^\circ  = 70\sqrt 3  \cdot \sin 60^\circ  = 105\).

Vậy ngọn núi cao 105 m.

Trả lời: 105.

a) Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(ABC\), có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A\)\( = {8^2} + {5^2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ  = 49\)\( \Rightarrow BC = 7\).

b) Nửa chu vi tam giác ABC là \(p = \frac{{5 + 8 + 7}}{2} = 10\).

Diện tích tam giác \(ABC\)là \(S = \sqrt {10\left( {10 - 8} \right)\left( {10 - 5} \right)\left( {10 - 7} \right)}  = 10\sqrt 3 \).

Lại có \(S = \frac{1}{2}AH \cdot BC \Rightarrow AH = \frac{{2S}}{{BC}} = \frac{{20\sqrt 3 }}{7}\).