Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 8,AC = 5,\widehat {BAC} = 120^\circ \). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(AB\).

Lời giải

a) Với \(0^\circ  < \alpha  < 90^\circ \) thì \(\sin \alpha  > 0\).

Khi đó \(\sin \alpha  \cdot \cos \alpha  > 0\).

b) Có \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\). Suy ra \(\sin \alpha  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

c) \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}:\frac{1}{3} = 2\sqrt 2 \).

d) \[\frac{{6\sqrt 2 \sin \alpha  + 3\cos \alpha }}{{\sqrt 2 \tan \alpha  + 2\sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{6\sqrt 2  \cdot \frac{{2\sqrt 2 }}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3}}}{{\sqrt 2  \cdot 2\sqrt 2  + 2\sqrt 2  \cdot \frac{1}{{2\sqrt 2 }}}} = \frac{9}{5}\].

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Sai;     d) Đúng.

Lời giải

Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat {BAC} = 90^\circ  + 30^\circ  = 120^\circ \); \(\widehat {ABC} = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ \); \(\widehat {ACB} = 180^\circ  - 120^\circ  - 30^\circ  = 30^\circ \).

Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\), có

\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{70\sin 120^\circ }}{{\sin 30^\circ }} = 70\sqrt 3 \).

Xét \(\Delta AHC\) có \(CH = BC\sin 60^\circ  = 70\sqrt 3  \cdot \sin 60^\circ  = 105\).

Vậy ngọn núi cao 105 m.

Trả lời: 105.