Một ngôi tháp nghiêng về phía Tây một góc α so với phương ngang của mặt đất. Vào lúc 10 giờ sáng, khi góc nâng của tia sáng mặt trời so với mặt đất có số đo là \(60^\circ \) thì bóng của tháp trải trên mặt đất dài 37,5 m. Vào lúc 16 giờ chiếu, khi góc nâng của tia nắng mặt trời so với mặt đất có số đo là \(45^\circ \) thì bóng của tháp trải trên mặt đất là 51,9 m.

a) Tính chiều dài thân tháp nghiêng trên.

b) Tìm số đo góc α.

Ta có \(\widehat {BAC} = 180^\circ  - 60^\circ  - 45^\circ  = 75^\circ \); \(BC = 37,5 + 51,9 = 89,4\).

Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\), ta có:

\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow AB = \frac{{BC\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{89,4 \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 65,45\) (m).

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(ABD\), ta có

\(A{D^2} = A{B^2} + B{D^2} - 2AB \cdot BD \cdot \cos \widehat {ABC} = {65,45^2} + {37,5^2} - 2 \cdot 65,45 \cdot 37,5 \cdot \cos 60^\circ \).

Suy ra \(AD \approx 56,88\) m.

Vậy chiều cao thân tháp là 56,88 m.

b) Xét \(\Delta AHB\), có \[AH = AB \cdot \sin B = 65,45 \cdot \sin 60^\circ  \approx 56,68\] (m).

Khi đó \(\sin \alpha  = \frac{{AH}}{{AD}} = 0,9965 \Rightarrow \alpha  \approx 85^\circ 11'\).