Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc \(60^\circ \).

Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?

Lời giải

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(BCD\), có

\(B{C^2} = C{D^2} + B{D^2} - 2CD \cdot DB \cdot \cos D = {500^2} + {400^2} - 2 \cdot 500 \cdot 400 \cdot \cos 122^\circ  \Rightarrow BC \approx 789\)(m).

Áp dụng định lí sin cho tam giác \(BCD\), có:

\(\frac{{BC}}{{\sin D}} = \frac{{BD}}{{\sin C}} \Rightarrow \sin C = \frac{{BD \cdot \sin D}}{{BC}} = \frac{{400 \cdot \sin 122^\circ }}{{789}} \Rightarrow \widehat C \approx 25,5^\circ \).

Suy ra \(\widehat {ACB} = 138^\circ  - 25,5^\circ  = 112,5^\circ \).

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(ABC\), có

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos C = {400^2} + {789^2} - 2 \cdot 400 \cdot 789 \cdot \cos 112,5^\circ  \Rightarrow AB \approx 1012\) (m).

Trả lời: 1012.

Lời giải

\(P = {\cos ^2}1^\circ  + {\cos ^2}2^\circ  + {\cos ^2}3^\circ  + ... + {\cos ^2}178^\circ  + {\cos ^2}179^\circ  + {\cos ^2}180^\circ \)

\(P = \left( {{{\cos }^2}1^\circ  + {{\cos }^2}179^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}2^\circ  + {{\cos }^2}178^\circ } \right) + ... + \left( {{{\cos }^2}89^\circ  + {{\cos }^2}91^\circ } \right) + {\cos ^2}90^\circ  + {\cos ^2}180^\circ \)

\(P = \left( {{{\cos }^2}1^\circ  + {{\cos }^2}1^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}2^\circ  + {{\cos }^2}2^\circ } \right) + ... + \left( {{{\cos }^2}89^\circ  + {{\cos }^2}89^\circ } \right) + {\cos ^2}90^\circ  + {\cos ^2}180^\circ \)

\[P = 2{\cos ^2}1^\circ  + 2{\cos ^2}2^\circ  + ... + 2{\cos ^2}89^\circ  + {\cos ^2}90^\circ  + {\cos ^2}180^\circ \]

\[P = 2\left( {{{\cos }^2}1^\circ  + {{\cos }^2}89^\circ } \right) + 2\left( {{{\cos }^2}2^\circ  + {{\cos }^2}88^\circ } \right) + ... + 2\left( {{{\cos }^2}44^\circ  + {{\cos }^2}46^\circ } \right) + 2{\cos ^2}45^\circ  + {\cos ^2}90^\circ  + {\cos ^2}180^\circ \]

\[P = 2\left( {{{\cos }^2}1^\circ  + {{\sin }^2}1^\circ } \right) + 2\left( {{{\cos }^2}2^\circ  + {{\sin }^2}2^\circ } \right) + ... + 2\left( {{{\cos }^2}44^\circ  + {{\sin }^2}44^\circ } \right) + 2{\cos ^2}45^\circ  + {\cos ^2}90^\circ  + {\cos ^2}180^\circ \]

\[P = 2 \cdot 44 + 1 + 1 = 90\].

Trả lời: 90.