Gọi \(M\)là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm \(2\)chữ số khác nhau. Tìm số nguyên dương \[k\] lớn nhất để tồn tại tập hợp con \[A\] có \[k\] phần tử của tập hợp \(M\) sao cho tích của \[4\] số bất kì thuộc tập hợp \[A\] đều chia hết cho \[3\].

Ta có nhận xét sau

\[{\left( {\frac{1}{{\sqrt {a + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {b + 1} }}} \right)^2} = \frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}} + \frac{2}{{\sqrt {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)} }}\]

\[ = \frac{{a + b + 2}}{{ab + a + b + 1}} + \frac{2}{{\sqrt {ab + a + b + 1} }} \le \frac{{a + b + 2}}{{a + b + 1}} + \frac{2}{{\sqrt {a + b + 1} }}\]\[ = {\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt {a + b + 1} }}} \right)^2}\]

Do đó ta được \[\frac{1}{{\sqrt {a + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {b + 1} }} \le 1 + \frac{1}{{\sqrt {a + b + 1} }}\].

Mặt khác, ta có \[{\left( {a + b + c} \right)^2} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\] suy ra \[a + b \ge 1 - c\].

Từ đây kết hợp với \[c \le 1\] (vì \[c \ge 0\] và \[{c^2} \le 1\]), ta suy ra

\[P \le 1 + \frac{1}{{\sqrt {2 - c} }} + \frac{1}{{\sqrt {c + 2} }}\]\[ = 1 + \sqrt {{{\left( {\frac{1}{{\sqrt {2 - c} }} + \frac{1}{{\sqrt {c + 2} }}} \right)}^2}} \]\[ = 1 + \sqrt {\frac{1}{{2 - c}} + \frac{1}{{2 + c}} + \frac{2}{{\sqrt {4 - {c^2}} }}} \]

\[ = 1 + \sqrt {\frac{4}{{4 - {c^2}}} + \frac{2}{{\sqrt {4 - {c^2}} }}} \]\[ \le 1 + \sqrt {\frac{4}{{4 - 1}} + \frac{2}{{\sqrt {4 - 1} }}} \]\[ = 2 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]

Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi \[a = b = 0,c = 1\]. Vậy giá trị lớn nhất của \[P\] là \[2 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\].

a) Ta biến đổi phương trình như sau

\({x^2} - {y^2} + 2\left( {3x + y} \right) = 23\)\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) - \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) = 31\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} - {\left( {y - 1} \right)^2} = 31\)\( \Leftrightarrow \left( {x - y + 4} \right)\left( {x + y + 2} \right) = 31\)

Từ đây, ta xét bảng sau \[\]

Vậy tất cả các nghiệm \[\left( {x,y} \right)\]thỏa mãn là \[\left( {13, - 14} \right);\left( {13,16} \right);\left( { - 19,16} \right);\left( { - 19, - 14} \right)\].

b) Gọi hai nghiệm nguyên của \(P\left( x \right) = {x^2} + bx + c\) là \[u,v\].

Theo định lý Vi – et ta được \[u + v = - b\], \[uv = c\].

Vì \[\left| {P\left( 9 \right)} \right|\] là số nguyên tố nên \[\left| {\left( {9 - u} \right)\left( {9 - v} \right)} \right|\] là số nguyên tố dẫn đến \[\left| {9 - u} \right| = 1\] hoặc \[\left| {9 - v} \right| = 1\].

Không mất tính tổng quát, ta giả sử \[\left| {9 - u} \right| = 1 \Leftrightarrow u \in \left\{ {8;10} \right\}\].

Trường hợp 1. \[u = 10\], vì \[\left| c \right| \le 16\], nên \[\left| v \right| \in \left\{ {0;1} \right\}\]\[ \Leftrightarrow v \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\].

Mặt khác \[9 - 1 = 8,\]\[9 - 0 = 9,\]\[9 + 1 = 10\] đều không là số nguyên tố nên trường hợp này loại.

Trường hợp 2. \[u = 8\], vì \[\left| c \right| \le 16\], nên \[\left| v \right| \le 2\].

Mà \[v\] phải là số chẵn nên từ đây suy ra \[v \in \left\{ { - 2;2} \right\}\]. Thử lại cả hai giá trị này thỏa mãn và ta nhận được giá trị của \[b,c\] tương ứng là \[ - 10,16\] và \[ - 6, - 16\].

Vậy tất cả cặp \[\left( {b,c} \right)\] thỏa mãn là \[\left( {b,c} \right) \in \left\{ {\left( { - 10,16} \right);\left( { - 6, - 16} \right)} \right\}\].