Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} - 5x\). Tập nghiệm của bất phương trình \(y' \ge 0\) là

Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\).

Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AE \bot BC\) mà \(BC \bot AA'\) (do \(AA' \bot \left( {ABC} \right)\)).

Suy ra \(BC \bot \left( {A'AE} \right)\).

Hạ \(AH \bot A'E\) tại H (1).

Vì \(BC \bot \left( {A'AE} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AH\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(AH \bot \left( {A'BC} \right)\).

Do đó \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH\).

Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét \(\Delta A'AE\) vuông tại \(A\), ta có

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}}\)\( = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).