Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = \frac{4}{5}\) và hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - y = 0,{\Delta _2}:x - 7y = 0\). Xác định tọa độ tâm \(K\) đường tròn \(\left( {C'} \right)\) tiếp xúc với các đường thẳng \({\Delta _1},\,{\Delta _2}\) và tâm \(K\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\).

Gọi \(x\)(nghìn đồng) là số tiền tăng thêm khi bán ra một cốc trà sữa \(\left( {x \ge 0} \right)\).

Số cốc trà sữa bán được sau khi tăng giá thêm \(x\)(nghìn đồng) là: \(2\,200 - 100x\) (cốc).

Số tiền lãi thu được là:

\(\left( {30 + x - 22} \right)\left( {2\,\,200 - 100x} \right) = \left( {8 + x} \right)\left( {2\,200 - 100x} \right) =  - 100{x^2} + 1\,400x + 17600\) (nghìn đồng).

Để lợi nhuận thu được là lớn nhất thì phải tìm được \(x\) sao cho hàm số \(f\left( x \right) =  - 100{x^2} + 1400x + 17600\) lớn nhất.

Hàm số này là hàm số bậc hai có \(a =  - 100 < 0\) nên nó đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của đồ thị hàm số.

Hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) =  - 100{x^2} + 1400x + 17600\) là \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{1400}}{{2.\left( { - 100} \right)}} = 7\) (thỏa mãn \[x \ge 0\]).

Khi đó số tiền phải tăng lên để lợi nhuận lớn nhất là 7 nghìn đồng hay chính là bán ra một cốc trà sữa với giá 30 + 7 = 37 (nghìn đồng).

Vậy cửa hàng phải bán mỗi cốc trà sữa với giá 37 000 đồng để đạt lợi nhuận lớn nhất.

a) Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 3x + 5}  = \sqrt {2{x^2} + 3x + 1} \) ta được:

\(4{x^2} - 3x + 5 = 2{x^2} + 3x + 1\).

Thu gọn ta được: \({x^2} - 3x + 2 = 0\).Từ đó suy ra \(x = 2\) hoặc \(x = 1\).

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left\{ {1;\,\,2} \right\}\).

b) \(\sqrt {3{x^2} + 2 - 5x}  - 4 =  - 3x\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} - 5x + 2}  = 4 - 3x\)

\( \Rightarrow 3{x^2} - 5x + 2 = 16 - 24x + 9{x^2}\)

\( \Leftrightarrow 6{x^2} - 19x + 14 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{7}{6}\end{array} \right.\).

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có \(x = \frac{7}{6}\) thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left\{ {\frac{7}{6}} \right\}\).