Câu hỏi:

10/04/2026 70

Cho \(\left( {O;R} \right)\) đường kính\[AB\]. Bán kính \[CO\] vuông góc với \[AB\], \[M\]là điểm bất kì trên cung nhỏ \[AC\]( \[M\] khác \[A\] và \[C\]), \[MB\] cắt \[AC\]tại\[H\]. Gọi \[K\] là hình chiếu của \[H\] trên\[AB\].

a) Chứng minh bốn điểm \[C,{\rm{ }}B,{\rm{ }}H,{\rm{ }}K\] cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh \[CA\] là phân giác \(\widehat {MCK}\).

c) Kẻ \[Ax\] là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại\[A\]. Lấy \(P \in Ax\) sao cho \(\frac{{AP.MB}}{{MA}} = R\).

Chứng minh \[PB\] đi qua trung điểm của đoạn thẳng\[HK\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 1 !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Gọi \[I\] là trung điểm của \[HB\]\( \Rightarrow HI = IB = \frac{{HB}}{2}\)

Xét nửa đường tròn \((O)\), đường kính \[AB\] có: \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \Delta CHB\) vuông, mà \[CI\] là đường trung tuyến

\( \Rightarrow IC = IH = IB = \frac{{HB}}{2}\) (1)

Xét nửa đường tròn \((O)\), đường kính \[AB\] có: \(\widehat {HKB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \Delta KHB\) vuông, mà \[KI\] là đường trung tuyến.

\( \Rightarrow IK = IH = IB = \frac{{HB}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \( \Rightarrow IC = IK = IH = IB\)

\( \Rightarrow \) Bốn điểm \[C,{\rm{ }}B,{\rm{ }}H,{\rm{ }}K\]cùng thuộc một đường tròn.

b) Có \(\widehat {MCA} = \widehat {MBA}\) (góc nội tiếp cùng chắn ); \(\widehat {ACK} = \widehat {MBA}\) (tứ giác \(CHKB\) nội tiếp)

\( \Rightarrow \widehat {MCA} = \widehat {ACK}\)

\( \Rightarrow CA\) là phân giác \(\widehat {MCK}\).

c) Theo giả thiết: \(\frac{{AP.MB}}{{MA}} = R\)\( \Rightarrow \frac{{AP}}{{MA}} = \frac{{OA}}{{MB}}\)

Xét \(\Delta PAO\) và \(\Delta AMB\) có: \(\frac{{AP}}{{MA}} = \frac{{OA}}{{MB}}\); \(\widehat {PAO} = \widehat {AMB} = 90^\circ \)

(c-g-c)

\( \Rightarrow \widehat {POA} = \widehat {MBA}\) (hai góc tương ứng)

\[ \Rightarrow OP{\rm{ // B}}Q\]

Xét \(\Delta ABQ\) có: \[OP{\rm{ // B}}Q\], \[O\]là trung điểm của AB nên \[P\]là trung điểm của \[AQ\].

Gọi \[F\]là giao điểm của \[BP\] và \[HK\].

Xét \(\Delta ABP\)có \[FK{\rm{ // }}AP\]nên \[\frac{{FK}}{{AP}} = \frac{{BF}}{{BP}}\]

Xét \(\Delta QBP\)có \[FH{\rm{ // }}QP\]nên \[\frac{{FH}}{{QP}} = \frac{{BF}}{{BP}}\]

Từ đó \(HF = FK\)suy ra \[PB\] đi qua trung điểm của đoạn thẳng\[HK\].

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

(0,5 điểm) Một trang chữ của một tạp chí cần diện tích là \(384c{m^2}\). Lề trên, lề dưới là \(3cm\); lề phải, lề trái là \(2cm\). Hỏi chiều ngang và chiều dọc tối ưu của trang giấy lần lượt là bao nhiêu để diện tích trang giấy là nhỏ nhất?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi \(a,b(cm)(a > 0,b > 0)\) là độ dài chiều dọc và chiều ngang của trang chữ suy ra kích thước trang giấy là \(a + 6,b + 4.\)

Ta có: \(a.b = 384\) suy ra \(b = \frac{{384}}{a}(1)\).

Diện tích trang sách là \(S = (a + 6)(b + 4)\)

Suy ra \(S = 4a + \frac{{2304}}{a} + 408\).

Theo bất đẳng thức CAUCHY ta có:

\(S \ge 2\sqrt {4a.\frac{{2304}}{a}} + 408 = 600.\)

Suy ra \(MinS = 600\)suy ra \(4a = \frac{{2304}}{a}\)suy ra \(a = 24\)

Suy ra chiều dọc và chiều ngang tối ưu của trang giấy là\(30cm,20cm\).

Câu 2

Một ống đồng hình trụ có chiều cao gấp \[5\] lần bán kính. Biết thể tích ống đồng bằng\(40\pi \,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\). Tính chiều cao của ống đồng đó.

Xem đáp án

Lời giải

Vì ống đồng hình trụ có \(h = 5R\) nên: \[{V_{ongdong}} = {S_d}.h\] \[ = \pi {R^2}h\] \[ = \pi {R^2}5R\] \[ = 5\pi {R^3}\]

\( \Rightarrow {R^3} = \frac{{{V_{ongdong}}}}{{5\pi }}\) \( = \frac{{40\pi }}{{5\pi }}\) \( = 8\)

\( \Rightarrow R = 2\)\( \Rightarrow h = 10\,\,{\rm{(cm)}}\)

Vậy chiều cao của ống đồng là \(10\,\,{\rm{(cm)}}\).

Câu 3