Cho quãng đường từ địa điểm \(A\) tới địa điểm \(B\) dài \(90\)km. Lúc \(6\) giờ một xe máy đi từ \(A\) để tới \(B\). Lúc \(6\) giờ \(30\) phút cùng ngày, một ô tô cũng đi từ \(A\) để tới \(B\) với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy \(15\) \(km/h\). (Hai xe chạy trên cùng một con đường đã cho). Hai xe nói trên đều đến \(B\) cùng lúc. Tính vận tốc mỗi xe.

Xe máy đi trước ô tô thời gian là: \(6\) giờ \(30\) phút - \(6\) giờ \( = \) \(30\) phút \( = \) \(\frac{1}{2}h\).

Gọi vận tốc của xe máy là \(x\) (km/h) \((x > 0)\)

Vì vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy \(15\) km/h nên vận tốc của ô tô là \(x + 15\)(km/h)

Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là: \[\frac{{90}}{x}\,\,(h)\]

Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là: \(\frac{{90}}{{x + 15}}\,\,\,(h)\)

Do xe máy đi trước ô tô \(\frac{1}{2}\) giờ và hai xe đều tới B cùng một lúc nên ta có phương trình: \[\frac{{90}}{x} - \frac{1}{2} = \frac{{90}}{{x + 15}}\]

\[90.2.(x + 15) - x(x + 15) = 90.2x\]

\[180x + 2700 - {x^2} - 15x = 180x\]

\[{x^2} + 15x - 2700 = 0\]

Ta có:  \(\Delta  = {15^2} - 4.( - 2700) = 11025 > 0\); \(\sqrt \Delta   = \sqrt {11025}  = 105\)

\({x_1} = \frac{{ - 15 - 105}}{2} =  - 60\) (không thỏa mãn)

\({x_2} = \frac{{ - 15 + 105}}{2} = 45\) (thỏa mãn)

Vậy vận tốc của xe máy là \(45\) (km/h), vận tốc của ô tô là \(45 + 15 = 60\)(km/h).