(4 điểm)

Một bình đựng đầy nước có dạng hình nón (không có đáy). Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 18π dm3. Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình dưới đây). Tính thể tích nước còn lại trong bình.

a) Chứng minh \(BFEC\) là tứ giác nội tiếp.

Tứ giác \(BFEC\) có:

\(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \) (\(BE,{\rm{ }}CF\) là hai đường cao của \(\Delta ABC\))

\( \Rightarrow \) tứ giác \(BFEC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\).

 Chứng minh \(KE.KF = KB.KC\)

Xét hai tam giác \(\Delta KEB\) và \(\Delta KCF\) có: \(\widehat {EKC}\) là góc chung và \(\widehat {KEB} = \widehat {KCF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta KEB{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta KCF{\rm{ }}\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{KE}}{{KC}} = \frac{{KB}}{{KF}}\\ \Rightarrow KE.KF = KB.KC{\rm{ }}\left( 1 \right)\end{array}\)

b) Chứng minh \(AEFM\) là tứ giác nội tiếp.

Tứ giác \(AMBC\) nội tiếp (\(A,{\rm{ }}M,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\) thuộc \(\left( O \right)\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {KMB} = \widehat {KCA}\\ \Rightarrow \Delta KMB{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta KCA{\rm{ }}\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow KM.KA = KB.KC{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra

\[\begin{array}{l} \Rightarrow KM.KA = KE.KF\\ \Rightarrow \Delta KMF{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta KEA{\rm{ }}\left( {c - g - c} \right)\\ \Rightarrow \widehat {KMF} = \widehat {KEA}{\rm{ }}\end{array}\]

Suy ra tứ giác \(AEFM\) nội tiếp. \(\left( 3 \right)\)

 c)Chứng minh ba điểm \(M,{\rm{ }}H,{\rm{ }}N\) thẳng hàng.

Gọi \(AS\) là đường kính của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {ACS} = {90^0}\) và \(\widehat {ABS} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, \(AS\) là đường kính)

\( \Rightarrow BHCS\) là hình bình hành \( \Rightarrow H,{\rm{ }}N,{\rm{ }}S\) thẳng hàng.

Ta có \(AFHE\) nội tiếp (\(\widehat {AFH} + \widehat {AEH} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)) \(\left( 4 \right)\)

 Từ \(\left( 4 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) \[ \Rightarrow A,{\rm{ }}M,{\rm{ }}F,{\rm{ }}H,{\rm{ }}E\] cùng thuộc một đường tròn

\( \Rightarrow AMHE\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {MHA} = {90^0} \Rightarrow HM \bot AK\) tại \(M\)

Ta có \(\widehat {AMS} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, \(AS\) đường kính) \( \Rightarrow SM \bot AK\) tại \(M\)

Tóm lại:

\(H,{\rm{ }}N,{\rm{ }}S\) thẳng hàng (chứng minh trên)

\(HM \bot AK\) tại \(M\)(chứng minh trên)

\(SM \bot AK\) tại \(M\) (chứng minh trên)

 \( \Rightarrow S,{\rm{ }}N,{\rm{ }}H,{\rm{ }}M\) thẳng hàng.