(1,5 điểm) Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}};\,B = \frac{7}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}\) với \(x \ge 0;x \ne 9\)

a) Tính giá trị của \(A\,\)khi \(x = \frac{9}{4}\).

b) Rút gọn \(M = A - B\).

c) Tìm các giá trị của \(x\) sao cho \({M^2} < \frac{{25}}{4}\).

Đổi 7 giờ 12 phút = \(\frac{{36}}{5}\)giờ

Gọi thời gian vòi 1 và vòi 2 chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y (giờ). Điều kiện \(x,y > 0\)

Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được : \[\frac{1}{x}\] (bể)

Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được: \[\frac{1}{y}\] (bể)

Trong 1 giờ, car2 vòi chảy được : \[\frac{5}{{36}}\] (bể)

Ta có phương trình:  \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{36}}\)  \(\left( 1 \right)\)

Vì mở vòi 1 chảy trong 5 giờ rồi khóa lại thì vòi 1 chảy được: \(\frac{5}{x}\)(bể),

và mở tiếp vòi 2 chảy trong 6 giờ thì vòi 2 chảy được: \(\frac{6}{y}\)(bể)

Vậy cả hai vòi chảy được \(\frac{3}{4}\)bể, ta có phương trình: \(\frac{5}{x} + \frac{6}{y} = \frac{3}{4}\)   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{36}}\\\frac{5}{x} + \frac{6}{y} = \frac{3}{4}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = \frac{{25}}{{36}}\\\frac{5}{x} + \frac{6}{y} = \frac{3}{4}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{y} = \frac{1}{{18}}\\\frac{1}{x} = \frac{1}{{12}}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 12(tm)\\y = 18(tm)\end{array} \right.\)

Vậy  vòi 1 chảy một mình đầy bể hết 12 giờ;

Vòi 2 chảy một mình đầy bể hết 18 giờ

Ta có \[AE = GB = x\,\,(0 < x < 15) \Rightarrow EG = 30 - 2x\].

Kẻ đường cao \(AK\) của \(\Delta AGE\).

Vì \(\Delta AGE\) cân tại \[A\] nên \(KE = \frac{{EG}}{2} = \frac{{30 - 2x}}{2} = 15 - x\) (cm).

\(\Delta AKE\) vuông tại \(K\)\( \Rightarrow AE > KE \Rightarrow x > \frac{{15}}{2}\).

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông \[AKE\] ta có

 \[A{K^2} + K{E^2} = A{E^2}\]

\[ \Leftrightarrow A{K^2} = A{E^2} - K{E^2}\]

\[ \Leftrightarrow AK = \sqrt {A{E^2} - K{E^2}} \]

\[ \Leftrightarrow AK = \sqrt {{x^2} - {{\left( {15 - x} \right)}^2}} \]

\[ \Leftrightarrow AK = \sqrt {30x - 225} \].

Diện tích đáy \[AGE\] là

\[{S_{AGE}} = \frac{1}{2}AK.GE = \frac{1}{2}\sqrt {30x - 225} .\left( {30 - 2x} \right) = \sqrt {30x - 225} .\left( {15 - x} \right)\,\,\left( {c{m^2}} \right)\].

Thể tích lăng trụ là \[V = 30.\sqrt {30x - 225} .(15 - x)\,\,\left( {c{m^3}} \right)\].

\[V = 30.\sqrt {30x - 225} .(15 - x) = 30.\sqrt {15.\left( {2x - 15} \right)} .\sqrt {15 - x} .\sqrt {15 - x} \]

                                        \[ = 10.\sqrt {15} .3.\sqrt {2x - 15} .\sqrt {15 - x} .\sqrt {15 - x} \].

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(2x - 15\), \(15 - x\), \(15 - x\) ta được

\[3.\sqrt[3]{{\left( {2x - 15} \right)\left( {15 - x} \right)\left( {15 - x} \right)}} \le \left( {2x - 15} \right) + \left( {15 - x} \right) + \left( {15 - x} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{\left( {2x - 15} \right)\left( {15 - x} \right)\left( {15 - x} \right)}} \le 5\]

\[ \Leftrightarrow \left( {2x - 15} \right)\left( {15 - x} \right)\left( {15 - x} \right) \le {5^3}\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {2x - 15} \right)\left( {15 - x} \right)\left( {15 - x} \right)}  \le \sqrt {{5^3}}  = 5\sqrt 5 \]

\[ \Rightarrow V \le 10.\sqrt {15} .3.5\sqrt 5  \Rightarrow V \le 750\sqrt 3 \].

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(2x - 15 = 15 - x \Leftrightarrow x = 10\).

Vậy \(x = 10\) thì thể tích lăng trụ lớn nhất.