(1,5 điểm) Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}};\,B = \frac{7}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}\) với \(x \ge 0;x \ne 9\)

a) Tính giá trị của \(A\,\)khi \(x = \frac{9}{4}\).

b) Rút gọn \(M = A - B\).

c) Tìm các giá trị của \(x\) sao cho \({M^2} < \frac{{25}}{4}\).

a) Tính giá trị của \(A\,\)khi \(x = \frac{9}{4}\).

Thay \(x = \frac{9}{4}\) (tmđk) vào \(A\,\) ta được: \(A = \frac{{\sqrt {\frac{9}{4}} }}{{\sqrt {\frac{9}{4}}  - 3}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{3}{2} - 3}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{{ - 3}}{2}}} =  - 1\).

Vậy khi \(x = \frac{9}{4}\) thì \(A =  - 1\).

b) Rút gọn \(M = A - B\).

\(M = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \left[ {\frac{7}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}} \right]\)

\(M = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{7}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\) \( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) - 7\left( {\sqrt x  - 3} \right) - 12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{x + \sqrt x  - 7\sqrt x  + 21 - 12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\) \( = \frac{{x - 6\sqrt x  + 9}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\) \( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\) \( = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}\)

c) Tìm các giá trị của \(x\) sao cho \({M^2} < \frac{{25}}{4}\).

\(\begin{array}{l}{M^2} < \frac{{25}}{4}\\{\left( {\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}} \right)^2} < \frac{{25}}{4}\end{array}\)

\({\left( {\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}} \right)^2} < {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2}\)

\(\left( {\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{5}{2}} \right)\left( {\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{5}{2}} \right) < 0\)

\(\left( {7\sqrt x  - 1} \right)\left( { - 3\sqrt x  - 11} \right) < 0\)

\(7\sqrt x  - 1 > 0\)

\(x > \frac{1}{{49}}\), điều kiện \(x \ge 0;x \ne 9\)

Vậy với \[\frac{1}{{49}} < x;\,\,x \ne 9\] thì \({M^2} < \frac{{25}}{4}\).