(0,5 điểm)
Cho hình vuông \[ABCD\] có cạnh là \(30\,cm\). Trên cạnh \[AB\] lấy hai điểm \[E\], \[G\] sao cho \[AE = GB = x\left( {cm} \right)\] và điểm \[E\] nằm giữa điểm \[A\] và điểm \[G\]. Qua \(E\) kẻ đường thẳng vuông góc với \[AB\] cắt \[CD\] tại \[F\]; qua \[G\] kẻ đường thẳng vuông góc với \[AB\]cắt \[CD\] tại \[H\]. Người ta gập hình vuông theo hai cạnh \[EF\] và \[GH\] sao cho cạnh \[AD\] trùng cạnh \[BC\] như hình vẽ để tạo thành hình lăng trụ đứng khuyết đáy. Tìm \[x\] để thể tích hình lăng trụ lớn nhất
Câu hỏi trong đề: Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 27 !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \[AE = GB = x\,\,(0 < x < 15) \Rightarrow EG = 30 - 2x\].
Kẻ đường cao \(AK\) của \(\Delta AGE\).
Vì \(\Delta AGE\) cân tại \[A\] nên \(KE = \frac{{EG}}{2} = \frac{{30 - 2x}}{2} = 15 - x\) (cm).
\(\Delta AKE\) vuông tại \(K\)\( \Rightarrow AE > KE \Rightarrow x > \frac{{15}}{2}\).
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông \[AKE\] ta có
\[A{K^2} + K{E^2} = A{E^2}\]
\[ \Leftrightarrow A{K^2} = A{E^2} - K{E^2}\]
\[ \Leftrightarrow AK = \sqrt {A{E^2} - K{E^2}} \]
\[ \Leftrightarrow AK = \sqrt {{x^2} - {{\left( {15 - x} \right)}^2}} \]
\[ \Leftrightarrow AK = \sqrt {30x - 225} \].
Diện tích đáy \[AGE\] là
\[{S_{AGE}} = \frac{1}{2}AK.GE = \frac{1}{2}\sqrt {30x - 225} .\left( {30 - 2x} \right) = \sqrt {30x - 225} .\left( {15 - x} \right)\,\,\left( {c{m^2}} \right)\].
Thể tích lăng trụ là \[V = 30.\sqrt {30x - 225} .(15 - x)\,\,\left( {c{m^3}} \right)\].
\[V = 30.\sqrt {30x - 225} .(15 - x) = 30.\sqrt {15.\left( {2x - 15} \right)} .\sqrt {15 - x} .\sqrt {15 - x} \]
\[ = 10.\sqrt {15} .3.\sqrt {2x - 15} .\sqrt {15 - x} .\sqrt {15 - x} \].
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(2x - 15\), \(15 - x\), \(15 - x\) ta được
\[3.\sqrt[3]{{\left( {2x - 15} \right)\left( {15 - x} \right)\left( {15 - x} \right)}} \le \left( {2x - 15} \right) + \left( {15 - x} \right) + \left( {15 - x} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{\left( {2x - 15} \right)\left( {15 - x} \right)\left( {15 - x} \right)}} \le 5\]
\[ \Leftrightarrow \left( {2x - 15} \right)\left( {15 - x} \right)\left( {15 - x} \right) \le {5^3}\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {2x - 15} \right)\left( {15 - x} \right)\left( {15 - x} \right)} \le \sqrt {{5^3}} = 5\sqrt 5 \]
\[ \Rightarrow V \le 10.\sqrt {15} .3.5\sqrt 5 \Rightarrow V \le 750\sqrt 3 \].
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(2x - 15 = 15 - x \Leftrightarrow x = 10\).
Vậy \(x = 10\) thì thể tích lăng trụ lớn nhất.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đổi 7 giờ 12 phút = \(\frac{{36}}{5}\)giờ
Gọi thời gian vòi 1 và vòi 2 chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y (giờ). Điều kiện \(x,y > 0\)
Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được : \[\frac{1}{x}\] (bể)
Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được: \[\frac{1}{y}\] (bể)
Trong 1 giờ, car2 vòi chảy được : \[\frac{5}{{36}}\] (bể)
Ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{36}}\) \(\left( 1 \right)\)
Vì mở vòi 1 chảy trong 5 giờ rồi khóa lại thì vòi 1 chảy được: \(\frac{5}{x}\)(bể),
và mở tiếp vòi 2 chảy trong 6 giờ thì vòi 2 chảy được: \(\frac{6}{y}\)(bể)
Vậy cả hai vòi chảy được \(\frac{3}{4}\)bể, ta có phương trình: \(\frac{5}{x} + \frac{6}{y} = \frac{3}{4}\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{36}}\\\frac{5}{x} + \frac{6}{y} = \frac{3}{4}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = \frac{{25}}{{36}}\\\frac{5}{x} + \frac{6}{y} = \frac{3}{4}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{y} = \frac{1}{{18}}\\\frac{1}{x} = \frac{1}{{12}}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 12(tm)\\y = 18(tm)\end{array} \right.\)
Vậy vòi 1 chảy một mình đầy bể hết 12 giờ;
Vòi 2 chảy một mình đầy bể hết 18 giờ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Lập bảng tần số ghép nhóm :
|
Nhóm |
\(\left[ {30;40} \right)\) |
\(\left[ {40;50} \right)\) |
\(\left[ {50;60} \right)\) |
\(\left[ {60;70} \right)\) |
\(\left[ {70;80} \right)\) |
\(\left[ {80;90} \right)\) |
Cộng |
|
Tần số \(\left( n \right)\) |
\[5\] |
\[6\] |
\[6\] |
\[4\] |
\[3\] |
\[6\] |
\(N = 30\) |
b) Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \[\left[ {\left. {50;60} \right)} \right.\] là: \[f = \frac{{6.100}}{{30}}\% = 20\% \]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập