(0,5 điểm)

Cho hình vuông \[ABCD\] có cạnh là \(30\,cm\). Trên cạnh \[AB\] lấy hai điểm \[E\], \[G\] sao cho \[AE = GB = x\left( {cm} \right)\] và điểm \[E\] nằm giữa điểm \[A\] và điểm \[G\]. Qua \(E\) kẻ đường thẳng vuông góc với \[AB\] cắt \[CD\] tại \[F\]; qua \[G\] kẻ đường thẳng vuông góc với \[AB\]cắt \[CD\] tại \[H\]. Người ta gập hình vuông theo hai cạnh \[EF\] và \[GH\] sao cho cạnh \[AD\] trùng cạnh \[BC\] như hình vẽ để tạo thành hình lăng trụ đứng khuyết đáy. Tìm \[x\] để thể tích hình lăng trụ lớn nhất

Ta có \[AE = GB = x\,\,(0 < x < 15) \Rightarrow EG = 30 - 2x\].

Kẻ đường cao \(AK\) của \(\Delta AGE\).

Vì \(\Delta AGE\) cân tại \[A\] nên \(KE = \frac{{EG}}{2} = \frac{{30 - 2x}}{2} = 15 - x\) (cm).

\(\Delta AKE\) vuông tại \(K\)\( \Rightarrow AE > KE \Rightarrow x > \frac{{15}}{2}\).

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông \[AKE\] ta có

 \[A{K^2} + K{E^2} = A{E^2}\]

\[ \Leftrightarrow A{K^2} = A{E^2} - K{E^2}\]

\[ \Leftrightarrow AK = \sqrt {A{E^2} - K{E^2}} \]

\[ \Leftrightarrow AK = \sqrt {{x^2} - {{\left( {15 - x} \right)}^2}} \]

\[ \Leftrightarrow AK = \sqrt {30x - 225} \].

Diện tích đáy \[AGE\] là

\[{S_{AGE}} = \frac{1}{2}AK.GE = \frac{1}{2}\sqrt {30x - 225} .\left( {30 - 2x} \right) = \sqrt {30x - 225} .\left( {15 - x} \right)\,\,\left( {c{m^2}} \right)\].

Thể tích lăng trụ là \[V = 30.\sqrt {30x - 225} .(15 - x)\,\,\left( {c{m^3}} \right)\].

\[V = 30.\sqrt {30x - 225} .(15 - x) = 30.\sqrt {15.\left( {2x - 15} \right)} .\sqrt {15 - x} .\sqrt {15 - x} \]

                                        \[ = 10.\sqrt {15} .3.\sqrt {2x - 15} .\sqrt {15 - x} .\sqrt {15 - x} \].

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(2x - 15\), \(15 - x\), \(15 - x\) ta được

\[3.\sqrt[3]{{\left( {2x - 15} \right)\left( {15 - x} \right)\left( {15 - x} \right)}} \le \left( {2x - 15} \right) + \left( {15 - x} \right) + \left( {15 - x} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{\left( {2x - 15} \right)\left( {15 - x} \right)\left( {15 - x} \right)}} \le 5\]

\[ \Leftrightarrow \left( {2x - 15} \right)\left( {15 - x} \right)\left( {15 - x} \right) \le {5^3}\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {2x - 15} \right)\left( {15 - x} \right)\left( {15 - x} \right)}  \le \sqrt {{5^3}}  = 5\sqrt 5 \]

\[ \Rightarrow V \le 10.\sqrt {15} .3.5\sqrt 5  \Rightarrow V \le 750\sqrt 3 \].

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(2x - 15 = 15 - x \Leftrightarrow x = 10\).

Vậy \(x = 10\) thì thể tích lăng trụ lớn nhất.