Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 27

a) Lập bảng tần số ghép nhóm :

 b) Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \[\left[ {\left. {50;60} \right)} \right.\] là: \[f = \frac{{6.100}}{{30}}\%  = 20\% \]

Xét phép thử “Quay đĩa tròn một lần”

Ta thấy, các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó là đồng khả năng.

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó là :

\[\Omega  = \{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12\} \]

Số phần tử của tập hợp \[\Omega \] là 12.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố \[A\] là : \[II,IV,VI,VIII\].

Do đó, có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố \[A\].

Vậy \[P(A) = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}\]

a) Tính giá trị của \(A\,\)khi \(x = \frac{9}{4}\).

Thay \(x = \frac{9}{4}\) (tmđk) vào \(A\,\) ta được: \(A = \frac{{\sqrt {\frac{9}{4}} }}{{\sqrt {\frac{9}{4}}  - 3}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{3}{2} - 3}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{{ - 3}}{2}}} =  - 1\).

Vậy khi \(x = \frac{9}{4}\) thì \(A =  - 1\).

b) Rút gọn \(M = A - B\).

\(M = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \left[ {\frac{7}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}} \right]\)

\(M = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{7}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\) \( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) - 7\left( {\sqrt x  - 3} \right) - 12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{x + \sqrt x  - 7\sqrt x  + 21 - 12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\) \( = \frac{{x - 6\sqrt x  + 9}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\) \( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\) \( = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}\)

c) Tìm các giá trị của \(x\) sao cho \({M^2} < \frac{{25}}{4}\).

\(\begin{array}{l}{M^2} < \frac{{25}}{4}\\{\left( {\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}} \right)^2} < \frac{{25}}{4}\end{array}\)

\({\left( {\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}} \right)^2} < {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2}\)

\(\left( {\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{5}{2}} \right)\left( {\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{5}{2}} \right) < 0\)

\(\left( {7\sqrt x  - 1} \right)\left( { - 3\sqrt x  - 11} \right) < 0\)

\(7\sqrt x  - 1 > 0\)

\(x > \frac{1}{{49}}\), điều kiện \(x \ge 0;x \ne 9\)

Vậy với \[\frac{1}{{49}} < x;\,\,x \ne 9\] thì \({M^2} < \frac{{25}}{4}\).

Ta có \[AE = GB = x\,\,(0 < x < 15) \Rightarrow EG = 30 - 2x\].

Kẻ đường cao \(AK\) của \(\Delta AGE\).

Vì \(\Delta AGE\) cân tại \[A\] nên \(KE = \frac{{EG}}{2} = \frac{{30 - 2x}}{2} = 15 - x\) (cm).

\(\Delta AKE\) vuông tại \(K\)\( \Rightarrow AE > KE \Rightarrow x > \frac{{15}}{2}\).

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông \[AKE\] ta có

 \[A{K^2} + K{E^2} = A{E^2}\]

\[ \Leftrightarrow A{K^2} = A{E^2} - K{E^2}\]

\[ \Leftrightarrow AK = \sqrt {A{E^2} - K{E^2}} \]

\[ \Leftrightarrow AK = \sqrt {{x^2} - {{\left( {15 - x} \right)}^2}} \]

\[ \Leftrightarrow AK = \sqrt {30x - 225} \].

Diện tích đáy \[AGE\] là

\[{S_{AGE}} = \frac{1}{2}AK.GE = \frac{1}{2}\sqrt {30x - 225} .\left( {30 - 2x} \right) = \sqrt {30x - 225} .\left( {15 - x} \right)\,\,\left( {c{m^2}} \right)\].

Thể tích lăng trụ là \[V = 30.\sqrt {30x - 225} .(15 - x)\,\,\left( {c{m^3}} \right)\].

\[V = 30.\sqrt {30x - 225} .(15 - x) = 30.\sqrt {15.\left( {2x - 15} \right)} .\sqrt {15 - x} .\sqrt {15 - x} \]

                                        \[ = 10.\sqrt {15} .3.\sqrt {2x - 15} .\sqrt {15 - x} .\sqrt {15 - x} \].

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(2x - 15\), \(15 - x\), \(15 - x\) ta được

\[3.\sqrt[3]{{\left( {2x - 15} \right)\left( {15 - x} \right)\left( {15 - x} \right)}} \le \left( {2x - 15} \right) + \left( {15 - x} \right) + \left( {15 - x} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{\left( {2x - 15} \right)\left( {15 - x} \right)\left( {15 - x} \right)}} \le 5\]

\[ \Leftrightarrow \left( {2x - 15} \right)\left( {15 - x} \right)\left( {15 - x} \right) \le {5^3}\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {2x - 15} \right)\left( {15 - x} \right)\left( {15 - x} \right)}  \le \sqrt {{5^3}}  = 5\sqrt 5 \]

\[ \Rightarrow V \le 10.\sqrt {15} .3.5\sqrt 5  \Rightarrow V \le 750\sqrt 3 \].

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(2x - 15 = 15 - x \Leftrightarrow x = 10\).

Vậy \(x = 10\) thì thể tích lăng trụ lớn nhất.

Đổi 7 giờ 12 phút = \(\frac{{36}}{5}\)giờ

Gọi thời gian vòi 1 và vòi 2 chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y (giờ). Điều kiện \(x,y > 0\)

Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được : \[\frac{1}{x}\] (bể)

Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được: \[\frac{1}{y}\] (bể)

Trong 1 giờ, car2 vòi chảy được : \[\frac{5}{{36}}\] (bể)

Ta có phương trình:  \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{36}}\)  \(\left( 1 \right)\)

Vì mở vòi 1 chảy trong 5 giờ rồi khóa lại thì vòi 1 chảy được: \(\frac{5}{x}\)(bể),

và mở tiếp vòi 2 chảy trong 6 giờ thì vòi 2 chảy được: \(\frac{6}{y}\)(bể)

Vậy cả hai vòi chảy được \(\frac{3}{4}\)bể, ta có phương trình: \(\frac{5}{x} + \frac{6}{y} = \frac{3}{4}\)   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{36}}\\\frac{5}{x} + \frac{6}{y} = \frac{3}{4}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = \frac{{25}}{{36}}\\\frac{5}{x} + \frac{6}{y} = \frac{3}{4}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{y} = \frac{1}{{18}}\\\frac{1}{x} = \frac{1}{{12}}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 12(tm)\\y = 18(tm)\end{array} \right.\)

Vậy  vòi 1 chảy một mình đầy bể hết 12 giờ;

Vòi 2 chảy một mình đầy bể hết 18 giờ

            Gọi số cây mà chi đoàn dự định trồng trong mỗi giờ là \[x\]  (cây) (ĐK: \[x > 0\])

Số cây chi đoàn trồng được trong mỗi giờ trên thực tế là \[x + 5\] (cây)

Thời gian chi đoàn dự định trồng xong số cây là \(\frac{{30}}{x}\) (h)

Số cây mà chi đoàn trồng được trong thực tế là \[30 + 10 = 40\] (cây)

Thời gian chi đoàn trồng xong số cây trong thực tế là \(\frac{{40}}{{x + 5}}\) (h)

Do chi đoàn hoàn thành công việc trước dự định là 20 phút = \(\frac{1}{3}\) h nên ta có phương      trình:

\(\frac{{30}}{x} - \frac{{40}}{{x + 5}} = \frac{1}{3}\)

\[\frac{{30.3\left( {x + 5} \right) - 40.3x}}{{3.x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{3.x\left( {x + 5} \right)}}\]

\[90\left( {x + 5} \right) - 120x = x\left( {x + 5} \right)\]

\({x^2} + 35x - 450 = 0\)

\[\Delta  = {35^2} - 4.1.\left( { - 450} \right) = 3025\]

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:\[{x_1} = \frac{{ - 35 + \sqrt {3025} }}{{2.1}} = 10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = \frac{{ - 35 - \sqrt {3025} }}{{2.1}} =  - 45\]

\[{x_1} = 10\]  (Thỏa mãn điều kiện); \[{x_2} =  - 45\] (Loại)

Vậy số cây mà chi đoàn dự định trồng trong mỗi giờ là 10 cây