(4,0 điểm)

Một hộp đựng bóng tenis có dạng hình trụ. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng tenis được xếp theo chiều dọc, các quả bóng tenis có đường kính là \(6,2{\rm{ }}cm\) và có kích thức như nhau.

a) Tính thể tích hộp đựng bóng tenis

b) Tính thể tích phần không gian còn trống bên trong là bao nhiêu? (Bỏ qua độ dày của vỏ hộp) (Lấy  \(\pi  \approx 3,14\) và kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

a) Chứng minh:  Tứ giác \(PDKI\) nội tiếp

Ta có \(PQ\) là đường kính của đường tròn (O). Suy ra \(\widehat {PIQ} = 90^\circ \) suy ra \[CI.CP = CD.CK\]

Do P là điểm chính giữa của cung lớn AB. Suy ra PA = PB

Mà OA = OB (cùng là bán kính của (O))

Suy ra PO là đường trung trực của AB suy ra \(OP \bot AB\) tại D

Suy ra \(PQ \bot AB\)

\(\widehat {PDK} = 90^\circ \)

Nên \(\widehat {PDK} + \widehat {PIK} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \)

 Tứ giác \({\rm{PDKI }}\)nội tiếp (hai góc đối bù nhau )

b) Xét tam giác \(CIK\) và tam giác \(CDP\) ta có :

\[\widehat C\] chung

\[\widehat {CIK} = \widehat {CDP} = 90^\circ \]

\[\frac{{CI}}{{CD}} = \frac{{CK}}{{CP}}\] suy ra \[CI.CP = CD.CK\]

\[CI.CP = CD.CK\]

Ta có PO là đường trung trực của AB, hay PQ là đường trung trực của AB

\({\rm{QA}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{QB}}\) hay điểm \(Q\) là điểm chính giữa cung nhỏ  nên

Do đó \(\widehat {AIQ} = \widehat {BIQ}\) ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau )

Hay \(IK\) là đường phân giác trong của tam giác \(AIB\) ; và lại có \(IK \bot IC{\rm{ ( }}\widehat {PIQ} = 90^\circ )\)

nên \(IC\) là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh \(I\) của tam giác \(AIB\)

c) Ta đi chứng minh \(K\) là điểm cố định

Ta có điểm \(D\) là trung điểm \(AB({\rm{ OD}} \bot {\rm{AB)}}\)

Do \(ABPI\) là tứ giác nội tiếp

\(\widehat {CAI} = \widehat {CPB}\)

\(\frac{{CA}}{{CP}} = \frac{{CI}}{{CB}}\)

\(CA.CB = CI.CP\)

Vậy nên \(CA.CB = CK.CD\left( { = CI.CP} \right)\)

\(CK.CD = \left( {CD - DA} \right)\left( {CD + DB} \right)\)

\(CK.CD = \left( {CD - \frac{{AB}}{2}} \right)\left( {CD + \frac{{AB}}{2}} \right)\)

\(CK.CD = C{D^2} - \frac{{A{B^2}}}{4}\)

\(C{D^2} - CK.CD = \frac{{A{B^2}}}{4}\) 

\(CD.KD = \frac{{A{B^2}}}{4}\)

\(KD = \frac{{A{B^2}}}{{4CD}}\)