(0,5 điểm) Cho \[1\] miếng bìa có kích thước là \[1\] hình vuông cạnh \[1\]m. Người ta cắt đi \[4\] góc miếng bìa đó đi \[4\] hình vuông kích thước bằng nhau, gấp lại thành \[1\] hình hộp không nắp. Tìm cạnh hình vuông nhỏ cắt đi sao cho thể tích hình hộp là lớn nhất ?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Với \(x,y,z \ge 0\)
Ta đi chứng minh: \({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\)
\({x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} - 3{x^2}y - 3x{y^2} + {z^3} - 3xyz \ge 0\)
\({\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) + {z^3} - 3xyz \ge 0\)
\({\left( {x + y} \right)^3} + {z^3} - 3xy\left( {x + y} \right) - 3xyz \ge 0\)
\(\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {x + y} \right)z + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right) \ge 0\)
\(\left( {x + y + z} \right)\left[ {{x^2} + 2xy + {y^2} - xz - yz + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right) \ge 0\)
\(\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + 2xy + {y^2} - xz - yz + {z^2} - 3xy} \right) \ge 0\)
\(\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz} \right) \ge 0\)
\(2\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz} \right) \ge 0\)
\(\left( {x + y + z} \right)\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2xz - 2yz} \right) \ge 0\)
\(\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} - 2xy + {y^2} + {x^2} - 2xz + {z^2} + {y^2} - 2yz + {z^2}} \right) \ge 0\)
\(\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {x - z} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2}} \right] \ge 0\) (Luôn đúng với mọi \(x,y,z \ge 0\))
Vậy nên \({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\)
Gọi cạnh hình vuông nhỏ là \(x(m,0 < x < 1)\)
Chiều cao của hình hộp là \(x\) (m)
Chiều dài, chiều rộng của hộp hình hộp là \(1 - 2x\) (m)
Thể tích của hộp hình lập phương khi đó là: \(({m^3})\)
\(x.(1 - 2x)(1 - 2x)\)\( = \frac{1}{4}.4x.(1 - 2x)(1 - 2x)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(4x.(1 - 2x)(1 - 2x) \le {\left( {\frac{{4x + 1 - 2x + 1 - 2x}}{3}} \right)^3}\)
\(\frac{1}{4}.4x.(1 - 2x)(1 - 2x) \le \frac{1}{4}{\left( {\frac{{4x + 1 - 2x + 1 - 2x}}{3}} \right)^3}\)
\(\frac{1}{4}.4x.(1 - 2x)(1 - 2x) \le \frac{1}{4}.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} = \frac{2}{{27}}\)
Dấu bằng xảy ra khi \[4x = 1 - 2x\]
\[6x = 1\]
\(x = \frac{1}{6}(TM)\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi dân số nội thành và ngoại thành lần lượt là \[{\rm{a}}{\rm{,}}\;{\rm{b}}\](\[0 < a,b < 420\], nghìn người)
Ta có: dân số của một tỉnh hay tổng của \[{\rm{a}}\] và \[{\rm{b}}\]là \[{\rm{420}}\] nghìn người nên \[a + b = 420\]
Dân số nội thành là: \[100,8\% a{\rm{ }} = {\rm{ }}1,008a\](người)
Dân số ngoại thành là: \[101,1\% b{\rm{ }} = {\rm{ }}1,011b\](người)
Vì sau một năm dân số toàn tỉnh sẽ tăng 1% nên ta có pt:
\[1,008a\; + {\rm{ }}1,011b\; = {\rm{ }}420{\rm{ }}.101\% \]
\[1,008a\; + {\rm{ }}1,011b\; = {\rm{ }}424,2\]
Ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 420\\1,008a\; + {\rm{ }}1,011b\; = {\rm{ }}424,2\end{array} \right.\]
Giải hệ phương trình ta được: \[a = 140;{\rm{ }}b = 280\]
Vậy dân số nội thành là \[{\rm{140}}\] nghìn người, dân số ngoại thành là \[{\rm{280}}\] nghìn người.
Lời giải
a) Bảng tần số tương đối của biểu đồ trên là:
|
Môn thể thao được yêu thích |
Bơi |
Bóng bàn |
Cầu lông |
Bóng rổ |
|
Tần số tương đối |
\(47\% \) |
\(8\% \) |
\(30\% \) |
\(15\% \) |
b) Môn thể thao nào được học sinh THCS của \(1\) trường yêu thích nhất là môn bơi vì môn bơi chiếm \(47\% \) các bạn yêu thích.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập