(4,0 điểm)

Gạch ống là một sản phẩm được tạo hình thành từ đất sét và nước, được kết hợp lại với nhau theo một công thức chung hợp lý mới có thể tạo ra hỗn hợp dẻo quánh, sau đó chúng được đổ vào khuôn, rồi đem phơi hoặc sấy khô và cuối cùng là đưa vào lò nung. Một viên gạch hình hộp chữ nhật có kích thước dài \(20cm\), rộng \(8\;{\rm{cm}}\). Bên trong có bốn lỗ hình trụ bằng nhau có đường kính \(2,5\;{\rm{cm}}\).

a) Tính thể tích đất sét để làm một viên gạch. (lấy \(\pi  = 3,14\))

b) Theo toán học, bác Ba muốn xây một ngôi nhà phải mua \(10\) thiên gạch, giá một viên là \(1100\) đồng. Nhưng khi thi công, bác Ba phải mua dư \(2\% \) số gạch cần dùng dự phòng cho hư hao. Tính số tiền bác Ba mua gạch để xây căn nhà, biết \(1\) viên gạch là \(1000\) viên.

Gọi dân số nội thành và ngoại thành lần lượt là \[{\rm{a}}{\rm{,}}\;{\rm{b}}\](\[0 < a,b < 420\], nghìn người)

Ta có: dân số của một tỉnh hay tổng của \[{\rm{a}}\] và \[{\rm{b}}\]là \[{\rm{420}}\] nghìn người nên \[a + b = 420\]

Dân số nội thành là: \[100,8\% a{\rm{ }} = {\rm{ }}1,008a\](người)

Dân số ngoại thành là: \[101,1\% b{\rm{ }} = {\rm{ }}1,011b\](người)

Vì sau một năm dân số toàn tỉnh sẽ tăng 1% nên ta có pt:

\[1,008a\; + {\rm{ }}1,011b\; = {\rm{ }}420{\rm{ }}.101\% \]

\[1,008a\; + {\rm{ }}1,011b\; = {\rm{ }}424,2\]

Ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 420\\1,008a\; + {\rm{ }}1,011b\; = {\rm{ }}424,2\end{array} \right.\]

Giải hệ phương trình ta được: \[a = 140;{\rm{ }}b = 280\] 

Vậy dân số nội thành là \[{\rm{140}}\] nghìn người, dân số ngoại thành là \[{\rm{280}}\] nghìn người.

Với \(x,y,z \ge 0\)

Ta đi chứng minh: \({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\)

\({x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} - 3{x^2}y - 3x{y^2} + {z^3} - 3xyz \ge 0\)

\({\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) + {z^3} - 3xyz \ge 0\)

\({\left( {x + y} \right)^3} + {z^3} - 3xy\left( {x + y} \right) - 3xyz \ge 0\)

\(\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {x + y} \right)z + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right) \ge 0\)

\(\left( {x + y + z} \right)\left[ {{x^2} + 2xy + {y^2} - xz - yz + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right) \ge 0\)

\(\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + 2xy + {y^2} - xz - yz + {z^2} - 3xy} \right) \ge 0\)

\(\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz} \right) \ge 0\)

\(2\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz} \right) \ge 0\)

\(\left( {x + y + z} \right)\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2xz - 2yz} \right) \ge 0\)

\(\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} - 2xy + {y^2} + {x^2} - 2xz + {z^2} + {y^2} - 2yz + {z^2}} \right) \ge 0\)

\(\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {x - z} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2}} \right] \ge 0\) (Luôn đúng với mọi \(x,y,z \ge 0\))

Vậy nên \({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\)

 Gọi cạnh hình vuông nhỏ là \(x(m,0 < x < 1)\)

Chiều cao của hình hộp là \(x\) (m) 

Chiều dài, chiều rộng của hộp hình hộp là \(1 - 2x\) (m)

Thể tích của hộp hình lập phương khi đó là:  \(({m^3})\)

\(x.(1 - 2x)(1 - 2x)\)\( = \frac{1}{4}.4x.(1 - 2x)(1 - 2x)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(4x.(1 - 2x)(1 - 2x) \le {\left( {\frac{{4x + 1 - 2x + 1 - 2x}}{3}} \right)^3}\)

\(\frac{1}{4}.4x.(1 - 2x)(1 - 2x) \le \frac{1}{4}{\left( {\frac{{4x + 1 - 2x + 1 - 2x}}{3}} \right)^3}\)

\(\frac{1}{4}.4x.(1 - 2x)(1 - 2x) \le \frac{1}{4}.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} = \frac{2}{{27}}\)

Dấu bằng xảy ra khi \[4x = 1 - 2x\]

\[6x = 1\]

\(x = \frac{1}{6}(TM)\)