(0,5 điểm) Cho \[1\] miếng bìa có kích thước là \[1\] hình vuông cạnh \[1\]m. Người ta cắt đi \[4\] góc miếng bìa đó đi \[4\] hình vuông kích thước bằng nhau, gấp lại thành \[1\] hình hộp không nắp. Tìm cạnh hình vuông nhỏ cắt đi sao cho thể tích hình hộp là lớn nhất ?
Câu hỏi trong đề: Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 47 !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Với \(x,y,z \ge 0\)
Ta đi chứng minh: \({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\)
\({x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} - 3{x^2}y - 3x{y^2} + {z^3} - 3xyz \ge 0\)
\({\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) + {z^3} - 3xyz \ge 0\)
\({\left( {x + y} \right)^3} + {z^3} - 3xy\left( {x + y} \right) - 3xyz \ge 0\)
\(\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {x + y} \right)z + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right) \ge 0\)
\(\left( {x + y + z} \right)\left[ {{x^2} + 2xy + {y^2} - xz - yz + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right) \ge 0\)
\(\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + 2xy + {y^2} - xz - yz + {z^2} - 3xy} \right) \ge 0\)
\(\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz} \right) \ge 0\)
\(2\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz} \right) \ge 0\)
\(\left( {x + y + z} \right)\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2xz - 2yz} \right) \ge 0\)
\(\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} - 2xy + {y^2} + {x^2} - 2xz + {z^2} + {y^2} - 2yz + {z^2}} \right) \ge 0\)
\(\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {x - z} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2}} \right] \ge 0\) (Luôn đúng với mọi \(x,y,z \ge 0\))
Vậy nên \({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\)
Gọi cạnh hình vuông nhỏ là \(x(m,0 < x < 1)\)
Chiều cao của hình hộp là \(x\) (m)
Chiều dài, chiều rộng của hộp hình hộp là \(1 - 2x\) (m)
Thể tích của hộp hình lập phương khi đó là: \(({m^3})\)
\(x.(1 - 2x)(1 - 2x)\)\( = \frac{1}{4}.4x.(1 - 2x)(1 - 2x)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(4x.(1 - 2x)(1 - 2x) \le {\left( {\frac{{4x + 1 - 2x + 1 - 2x}}{3}} \right)^3}\)
\(\frac{1}{4}.4x.(1 - 2x)(1 - 2x) \le \frac{1}{4}{\left( {\frac{{4x + 1 - 2x + 1 - 2x}}{3}} \right)^3}\)
\(\frac{1}{4}.4x.(1 - 2x)(1 - 2x) \le \frac{1}{4}.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} = \frac{2}{{27}}\)
Dấu bằng xảy ra khi \[4x = 1 - 2x\]
\[6x = 1\]
\(x = \frac{1}{6}(TM)\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Thể tích đất sét làm viên gạch hình hộp chữ nhật chưa trừ bốn lỗ rỗng bên trong là:
\(8.8.20 = 320\left( {c{m^3}} \right)\).
Thể tích của bốn lỗ hình trụ bằng nhau là: \(\pi {R^2}h\)\( = 3,14.{\left( {\frac{{2,5}}{2}} \right)^2}.20\)\( = 98,125\left( {c{m^3}} \right)\)
Thể tích đất sét để làm một viên gạch là: \(320 - 98,125 \approx 221,9\left( {c{m^3}} \right)\)
b) Số viên gạch bác Ba cần mua là: \(10.1000.102\% = 10200\)(viên gạch)
Số tiền bác Ba mua gạch để xây căn nhà là: \(10200.1100 = 11{\rm{ }}220{\rm{ }}000\)(đồng)
Lời giải
Gọi dân số nội thành và ngoại thành lần lượt là \[{\rm{a}}{\rm{,}}\;{\rm{b}}\](\[0 < a,b < 420\], nghìn người)
Ta có: dân số của một tỉnh hay tổng của \[{\rm{a}}\] và \[{\rm{b}}\]là \[{\rm{420}}\] nghìn người nên \[a + b = 420\]
Dân số nội thành là: \[100,8\% a{\rm{ }} = {\rm{ }}1,008a\](người)
Dân số ngoại thành là: \[101,1\% b{\rm{ }} = {\rm{ }}1,011b\](người)
Vì sau một năm dân số toàn tỉnh sẽ tăng 1% nên ta có pt:
\[1,008a\; + {\rm{ }}1,011b\; = {\rm{ }}420{\rm{ }}.101\% \]
\[1,008a\; + {\rm{ }}1,011b\; = {\rm{ }}424,2\]
Ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 420\\1,008a\; + {\rm{ }}1,011b\; = {\rm{ }}424,2\end{array} \right.\]
Giải hệ phương trình ta được: \[a = 140;{\rm{ }}b = 280\]
Vậy dân số nội thành là \[{\rm{140}}\] nghìn người, dân số ngoại thành là \[{\rm{280}}\] nghìn người.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập