(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{3\sqrt x }}{{x + \sqrt x  - 2}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 1}}\) với \(x \ge 0\); \(x \ne 1\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(B\) với \(x = 25\).

2) Chứng minh \(A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}}\).

3) Tìm \(x\) để biểu thức \(S = A.B\) đạt giá trị lớn nhất.

1) Tính giá trị của biểu thức \(B\) với \(x = 25\).

Với \(x = 25\) (thỏa mãn điều kiện) thay vào biểu thức \(B\) ta có:

\(B = \frac{{\sqrt {25}  + 3}}{{\sqrt {25}  + 1}} = \frac{{5 + 3}}{{5 + 1}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\).

Vậy \(B = \frac{4}{3}\) khi \(x = 25\).

2) Chứng minh \(A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}}\).

Ta có:  \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{3\sqrt x }}{{x + \sqrt x  - 2}}\)

\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right) + \left( {\sqrt x  - 1} \right) - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}}\)

Vậy \(A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}}\)với \(x \ge 0\); \(x \ne 1\).

3) Tìm \(x\) để biểu thức \(S = A.B\) đạt giá trị lớn nhất.

Với \(x \ge 0\); \(x \ne 1\).

Ta có: \(S = A.B = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}}.\frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 2}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}}\)

Ta có: \(x \ge 0\)\( \Rightarrow \sqrt x  + 2 \ge 2\)\( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} \le \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow 1 + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} \le 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)

Dấu  xảy ra khi \(x = 0\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy GTLN của \(S\) là \(\frac{3}{2}\) khi \(x = 0\).