Đáp án:  ____

 

Đáp án đúng là "115"

Phương pháp giải

Tính đạo hàm, tìm điều kiện để đạo hàm không âm.

Lời giải

Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{x} + 2\left( {\frac{m}{{10}} + x} \right) = 2x + \frac{1}{x} + \frac{m}{5}\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Cho \(f'\left( x \right) \ge 0\forall x > 0 \Leftrightarrow \frac{m}{{10}} \ge  - x - \frac{1}{{2x}}\forall x > 0\).

Xét \(g\left( x \right) =  - x - \frac{1}{{2x}},x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Có \(g'\left( x \right) =  - 1 + \frac{1}{{2{x^2}}}\), cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Khi đó, ta có bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\) như sau:

​

Khi đó, để \(\frac{m}{{10}} \ge  - x - \frac{1}{{2x}}\forall x > 0\) thì \(\frac{m}{{10}} \ge  - \sqrt 2  \Leftrightarrow m \ge  - 10\sqrt 2  \approx  - 14,1\).

Khi đó, có tất cả \(100 - \left( { - 14} \right) + 1 = 115\) giá trị nguyên của tham số \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán.