Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x -m^2-2}{x-m}$  trên đoạn [0;4]  bằng -1? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "1"

Phương pháp giải

Đạo hàm và tìm gtln theo tham số \(m\).

Lời giải

Điều kiện: \(x \ne m\).

Hàm số đã cho xác định trên \(\left[ {0;4} \right]\) khi \(m \notin \left[ {0;4} \right]\) (*)

Ta có \(y' = \frac{{{m^2} - m + 2}}{{{{(x - m)}^2}}} = \frac{{{{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{4}}}{{{{(x - m)}^2}}} > 0\) với \(\forall x \in \left[ {0;4} \right]\).

Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) nên

\(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;4} \right]} y =  - 1 \Leftrightarrow \frac{{2 - {m^2}}}{{4 - m}} =  - 1 \Leftrightarrow {m^2} + m - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2}\\{m =  - 3}\end{array}} \right.\)

Kết hợp với điều kiện (*) ta được \(m =  - 3\). Do đó có một giá trị của \(m\) thỏa yêu cầu bài toán