Cho hình chóp S. ABCD, đáy là tam giác vuông cân tại B, SA = AB = 1, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi K là điểm nằm trên đoạn thẳng SC sao cho góc giữa hai đường thẳng AB và KB bằng $60°$. Biết độ dài đoạn thẳng BK là $a\sqrt{b }-c$ , vớ i a,b,c là các số nguyên tố. Tính T = a+b+c (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "6"

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp toạ độ hoá.

Lời giải

​

Gán hệ trục toạ độ Oxyz cho hình chóp như hình vẽ.

Có \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),C\left( {1;1;0} \right),S\left( {0;0;1} \right)\)

Khi đó, phương trình đường thẳng SC là: \(SC:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.\)

Gọi toạ độ điểm \(K\) nằm trên \(SC\) là \(K\left( {t;t;1 - t} \right)\left( {0 \le t \le 1} \right)\)

Khi đó ta có:

\(\overrightarrow {AB} \left( {1;0;0} \right)\)

\(\overrightarrow {BK} \left( {t - 1;t;1 - t} \right)\)

Do góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(KB\) bằng \({60^ \circ }\) nên:

\(\frac{{|t - 1|}}{{\sqrt {{{(t - 1)}^2} + {t^2} + {{(1 - t)}^2}} }} = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{t^2} - 2t + 1}}{{3{t^2} - 4t + 2}} = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 2 + \sqrt 2 \,\,\left( l \right)}\\{t = 2 - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BK} (1 - \sqrt 2 ;2 - \sqrt 2 ;\sqrt 2  - 1) \Rightarrow BK = 2\sqrt 2  - 2\) 

Vậy \(a = b = c = 2\).