Gọi \(x,y\) là hai số thực thoả mãn \({e^x} + {e^y} = 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = 2x + y\) gần nhất với giá trị nào sau đây?

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Đưa từ phương trình hai ẩn về phương trình một ẩn.

Lời giải

Có \(T = 2x + y \Leftrightarrow y = T - 2x\)

Xét phương trình \({e^x} + {e^y} = 1 \Rightarrow {e^x} + {e^{T - 2x}} = 1 \Rightarrow {e^T} = {e^{2x}} - {e^{3x}}\left( 1 \right)\).

Xét \(f\left( x \right) = {e^{2x}} - {e^{3x}}\left( {x \in \mathbb{R}} \right)\). Có \(f'\left( x \right) = 2{e^{2x}} - 3{e^{3x}}\).

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{e^{2x}} - 3{e^{3x}} = 0 \Leftrightarrow {e^x} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = {\rm{ln}}\frac{2}{3}\).

Khi đó, ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy để phương trình (1) có nghiệm thì \({e^T} \le \frac{4}{{27}} \Leftrightarrow T \le {\rm{ln}}\frac{4}{{27}} \approx - 1,91\).