Có hai người thợ may cùng may một loại áo với xác suất may được sản phẩm chất lượng cao là 0,9 và 0,8. Chọn ngẫu nhiên một người để thực hiện công việc may áo. Biết rằng trong 4 cái áo đầu tiên người đó may có đúng 3 cái có chất lượng cao. Tính xác suất trong 4 cái áo tiếp theo người đó may cũng có đúng 3 cái có chất lượng cao. (làm tròn kết quả tới chữ số thập phân thứ hai)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, công thức Bayes.

Lời giải

Gọi \({A_i}\) là biến cố "Chọn người thứ \(i\) để may áo", \(i \in \left\{ {1;2} \right\}\).

Gọi \(M\) là biến cố "Trong 4 chiếc áo đầu được may có đúng 3 cái có chất lượng cao".

Gọi \(H\) là biến cố "Trong 4 chiếc áo sau được may có đúng 3 cái có chất lượng cao".

Có \(P\left( {{A_1}} \right) = P\left( {{A_2}} \right) = \frac{1}{2}\).

Do xác suất may được sản phẩm chất lượng cao của hai người là 0,9 và 0,8 nên:

\(P\left( {M\mid {A_1}} \right) = P\left( {H\mid {A_1}} \right) = C_4^3.0,{9^3}.0,{1^1} = 0,2916\)

\(P\left( {M\mid {A_2}} \right) = P\left( {H\mid {A_2}} \right) = C_4^3.0,{8^3}.0,{2^1} = 0,4096\)

Xác suất cần tính là \(P\left( {H|M} \right)\).

Theo công thức nhân xác suất: \(P\left( {H|M} \right) = \frac{{P\left( {MH} \right)}}{{P\left( M \right)}}\)

Do biến cố \({A_2}\) chính là biến cố \(\overline {{A_1}} \), khi đó theo công thức xác suất toàn phần ta có:

\(P\left( {MH} \right) = P\left( {MH\mid {A_1}} \right)P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {MH\mid {A_2}} \right)P\left( {{A_2}} \right)\)

\(P\left( {MH} \right) = P\left( {M\mid {A_1}} \right)P\left( {H\mid {A_1}} \right)P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {M\mid {A_2}} \right)P\left( {H\mid {A_2}} \right)P\left( {{A_2}} \right)\)

\(P\left( {MH} \right) = 0,{2916^2}.\frac{1}{2} + 0,{4096^2}.\frac{1}{2}\)

(Ở đây, khi chúng ta xác định được một người sản xuất, thì hai biến cố \(M\) và \(H\) hoàn toàn độc lập với nhau, nên chúng ta có công thức \(\left. {P\left( {MH|{A_i}} \right) = P\left( {M|{A_i}} \right)P\left( {H|{A_i}} \right)} \right)\)

\(P\left( M \right) = P\left( {M|{A_1}} \right)P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {M|{A_2}} \right)P\left( {{A_2}} \right)\)

\(P\left( M \right) = 0,2916.\frac{1}{2} + 0,4096.\frac{1}{2}\)

Khi đó, xác suất cần tính là:

\(P(H|M) = \frac{{P\left( {MH} \right)}}{{P\left( M \right)}} = \frac{{\frac{1}{2}.0,{{2916}^2} + \frac{1}{2}.0,{{4096}^2}}}{{\frac{1}{2}.0,2916 + \frac{1}{2}.0,4096}} \approx 0,36\)

Vậy xác suất cần tìm là \(P\left( {H\mid M} \right) \approx 0,36\).