Cho đa giác đều \(n\) đỉnh, \(n \in \mathbb{N}\) và \(n \ge 3\). Biết rằng đa giác đã cho có \(135\) đường chéo khi đó giá trị của \(n\) là

Hướng dẫn giải

Gọi \({A_1};{A_2};...;{A_{2018}}\) là các đỉnh của đa giác đều \(2018\) đỉnh.

Gọi \(O\) là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều \({A_1};{A_2};...;{A_{2018}}\)

Các đỉnh của đa giác đều chia \(O\) thành \(2018\) cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo bằng \(\frac{{360^\circ }}{{2018}}\).

Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp của \(O\).

Suy ra góc lớn hơn \(100^\circ \) sẽ chắn cung có số đo lớn hơn \(200^\circ \).

Cố định một đỉnh \({A_i}\), có \(2018\) cách chọn \({A_i}\).

Gọi\({A_i};{A_j};{A_k}\)là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho \[\widehat {{A_i}{A_j}{A_k}} > 100^\circ \] và tam giác \({A_i}{A_j}{A_k}\) là tam giác cần đếm.

Khi đó cung \({A_i}{A_k}\)  là hợp liên tiếp của nhiều nhất \(\left( {\frac{{160}}{{\frac{{360}}{{2018}}}}} \right) = 896\)  cung tròn nói trên.

Ta có \(896\) cung tròn này có \(897\) đỉnh. Trừ đi đỉnh \({A_i}\) thì còn \(896\) đỉnh. Do đó có \(C_{896}^2\) cách chọn hai đỉnh \({A_j};{A_k}\).

Vậy có tất cả \(2018.C_{896}^2\) tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {abcd} \] với \[\left( {a,b,c,d} \right) \in A = \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\]

Vì \[\overline {abcd} \] là số chẵn \[ \Rightarrow \,\,d = \left\{ {0;2;4} \right\}\]

Trường hợp 1: Nếu \[d = 0\]có một cách chọn

\[a\] có \(5\) cách chọn (vì \(a\) được chọn từ một trong các số \(1;2;3;4;5\)).

\[b\] có \(4\) cách chọn (vì \(a \ne b\) nên \(b\) được chọn từ một trong các số \(1;2;3;4;5\) nhưng bỏ đi số mà \(a\) đã chọn).

\[c\] có \(3\) cách chọn (vì \(a \ne c;\,b \ne c\) nên \(c\) được chọn từ một trong các số \(1;2;3;4;5\) nhưng bỏ đi số mà \(a,b\) đã chọn).

Như vậy, ta có \[5.4.3.1 = 60\] số.

Truờng hợp 2: Nếu \[d \ne 0\] có \[2\] cách chọn là số \(2\) hoặc \(4\)

\[a\] có \(4\) cách chọn (vì \(a\) được chọn từ một trong các số \(1;2;3;4;5\) bỏ đi số mà \(d\) đã chọn).

\[b\] có \(4\) cách chọn (vì \(a \ne b;b \ne d\) nên \(b\) được chọn từ một trong các số \(0;1;2;3;4;5\) nhưng bỏ đi số mà \(a,d\) đã chọn).

\[c\] có \(3\) cách chọn (vì \(a \ne c;\,b \ne c;d \ne c\) nên \(c\) được chọn từ một trong các số \(0;1;2;3;4;5\) nhưng bỏ đi số mà \(a,b,d\) đã chọn).

Như vậy, ta có \[2.4.4.3 = 96\] số.

Vậy có tất cả \[60 + 96 = 156\] số cần tìm.