Một đoàn đại biểu gồm \(5\) người được chọn ra từ một tổ gồm \(8\) nam và \(7\) nữ để tham dự hội nghị. Xác suất để chọn được đoàn đại biểu có đúng \(2\) người nữ là

Hướng dẫn giải

Gọi \({A_1};{A_2};...;{A_{2018}}\) là các đỉnh của đa giác đều \(2018\) đỉnh.

Gọi \(O\) là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều \({A_1};{A_2};...;{A_{2018}}\)

Các đỉnh của đa giác đều chia \(O\) thành \(2018\) cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo bằng \(\frac{{360^\circ }}{{2018}}\).

Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp của \(O\).

Suy ra góc lớn hơn \(100^\circ \) sẽ chắn cung có số đo lớn hơn \(200^\circ \).

Cố định một đỉnh \({A_i}\), có \(2018\) cách chọn \({A_i}\).

Gọi\({A_i};{A_j};{A_k}\)là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho \[\widehat {{A_i}{A_j}{A_k}} > 100^\circ \] và tam giác \({A_i}{A_j}{A_k}\) là tam giác cần đếm.

Khi đó cung \({A_i}{A_k}\)  là hợp liên tiếp của nhiều nhất \(\left( {\frac{{160}}{{\frac{{360}}{{2018}}}}} \right) = 896\)  cung tròn nói trên.

Ta có \(896\) cung tròn này có \(897\) đỉnh. Trừ đi đỉnh \({A_i}\) thì còn \(896\) đỉnh. Do đó có \(C_{896}^2\) cách chọn hai đỉnh \({A_j};{A_k}\).

Vậy có tất cả \(2018.C_{896}^2\) tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {abcd} \] với \[\left( {a,b,c,d} \right) \in A = \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\]

Vì \[\overline {abcd} \] là số chẵn \[ \Rightarrow \,\,d = \left\{ {0;2;4} \right\}\]

Trường hợp 1: Nếu \[d = 0\]có một cách chọn

\[a\] có \(5\) cách chọn (vì \(a\) được chọn từ một trong các số \(1;2;3;4;5\)).

\[b\] có \(4\) cách chọn (vì \(a \ne b\) nên \(b\) được chọn từ một trong các số \(1;2;3;4;5\) nhưng bỏ đi số mà \(a\) đã chọn).

\[c\] có \(3\) cách chọn (vì \(a \ne c;\,b \ne c\) nên \(c\) được chọn từ một trong các số \(1;2;3;4;5\) nhưng bỏ đi số mà \(a,b\) đã chọn).

Như vậy, ta có \[5.4.3.1 = 60\] số.

Truờng hợp 2: Nếu \[d \ne 0\] có \[2\] cách chọn là số \(2\) hoặc \(4\)

\[a\] có \(4\) cách chọn (vì \(a\) được chọn từ một trong các số \(1;2;3;4;5\) bỏ đi số mà \(d\) đã chọn).

\[b\] có \(4\) cách chọn (vì \(a \ne b;b \ne d\) nên \(b\) được chọn từ một trong các số \(0;1;2;3;4;5\) nhưng bỏ đi số mà \(a,d\) đã chọn).

\[c\] có \(3\) cách chọn (vì \(a \ne c;\,b \ne c;d \ne c\) nên \(c\) được chọn từ một trong các số \(0;1;2;3;4;5\) nhưng bỏ đi số mà \(a,b,d\) đã chọn).

Như vậy, ta có \[2.4.4.3 = 96\] số.

Vậy có tất cả \[60 + 96 = 156\] số cần tìm.