PHẦN TỰ LUẬN

Trong hệ tọa độ \[Oxy\] cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình:\({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 15 = 0\). Gọi \(I\) là tâm của \(\left( C \right)\), đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {1; - 3} \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại \(A,B\). Tam giác \(IAB\) có diện tích là \(8\). Viết phương trình đường thẳng \(d\).

Gọi đường thẳng \(d\) cần tìm có dạng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) hay \[ax - y + b = 0\].

Vì \(M\left( {1; - 3} \right)\) thuộc \(d\) nên thay \(x = 1\) và \(y =  - 3\) vào phương trình trên ta được:

\[a.1 - \left( { - 3} \right) + b = 0 \Leftrightarrow b =  - a - 3\].

Khi đó phương trình đường thẳng \[d:ax - y - a - 3 = 0\].

Xét đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 1} \right),\) bán kính \(R = 2\sqrt 5 \).

Kẻ \(IH \bot d\) tại \(H\)

Diện tích tam giác \(IAB\) bằng \(8\) nên ta có: \({S_{IAB}} = \frac{1}{2}IH.AB = 8 \Rightarrow IH.AB = 16\).

Xét tam giác \(IHB\) vuông tại \(H\) có: \({R^2} = I{H^2} + \frac{{A{B^2}}}{4} = 20\) (định lí Pythagore).

\( \Leftrightarrow I{H^2} + 2.IH.\frac{{AB}}{2} + \frac{{A{B^2}}}{4} = 20 + 16\)

\( \Leftrightarrow {\left( {IH + \frac{{AB}}{2}} \right)^2} = 36\)

\( \Leftrightarrow IH + \frac{{AB}}{2} = 6\)

\( \Leftrightarrow IH = 6 - \frac{{AB}}{2}\)

\( \Rightarrow \left( {6 - \frac{{AB}}{2}} \right).AB = 16 \Leftrightarrow  - \frac{1}{2}A{B^2} + 6AB - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}AB = 4\\AB = 8\end{array} \right.\).

Với \(AB = 4\) thì \(IH = 4\), khi đó:

\(d\left( {I;d} \right) = IH \Leftrightarrow \frac{{\left| {2a - \left( { - 1} \right) - a - 3} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = 4\)

\( \Leftrightarrow \left| {a - 2} \right| = 4\sqrt {{a^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 = 16\left( {{a^2} + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 15{a^2} + 4a + 12 = 0\) (phương trình vô nghiệm).

Với \(AB = 8\) thì \(IH = 2\), khi đó:

\(d\left( {I;d} \right) = IH \Leftrightarrow \frac{{\left| {2a - \left( { - 1} \right) - a - 3} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = 2\)

\( \Leftrightarrow \left| {a - 2} \right| = 2\sqrt {{a^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 = 4\left( {{a^2} + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3{a^2} + 4a = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a =  - \frac{4}{3}\end{array} \right.\)

Vì vậy chỉ có \(a =  - \frac{4}{3}\) thỏa mãn điều kiện nên phương trình đường thẳng cần tìm là

\[ - \frac{4}{3}x - y - \left( { - \frac{4}{3}} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y + 5 = 0\].