Vị trí của một chất điểm \(M\) tại thời điểm \(t\) (\(t\) trong khoảng thời gian từ 0 phút đến 180 phút) có toạ độ là \(\left( {3 + 5\sin t^\circ ;\,4 + 5\cos t^\circ } \right)\). Tìm toạ độ của chất điểm \(M\) khi \(M\) ở cách xa gốc toạ độ nhất.

Từ cách xác định toạ độ của chất điểm \(M\) ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} = 3 + 5\sin t^\circ }\\{{y_M} = 4 + 5\cos t^\circ }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} - 3 = 5\sin t^\circ }\\{{y_M} - 4 = 5\cos t^\circ }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 4} \right)^2} = {\left( {5\sin t^\circ } \right)^2} + {\left( {5\cos t^\circ } \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 4} \right)^2} = 25{\left( {\sin t^\circ } \right)^2} + 25{\left( {\cos t^\circ } \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 4} \right)^2} = 25\left( {{{\sin }^2}t^\circ  + {{\cos }^2}t^\circ } \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 4} \right)^2} = 25.1\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 4} \right)^2} = {5^2}\)

Vậy chất điểm \(M\) luôn thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3;\,\,4} \right)\) và có bán kính \(R = 5\). Mặt khác gốc toạ độ \(O\left( {0;\,0} \right)\) cũng thuộc đường tròn \(\left( C \right)\).

Do đó ta có: \(OM \le 2R = 10\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(OM\) là đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\), nghĩa là \(I\) là trung điểm của \(OM\), điều đó tương đương với

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} = 2{x_I} - {x_O} = 6}\\{{y_M} = 2{y_I} - {y_O} = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 + 5\sin t^\circ  = 6}\\{4 + 5\cos t^\circ  = 8}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin t^\circ  = \frac{3}{5}}\\{\cos t^\circ  = \frac{4}{5}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t \approx 37\)  (thỏa mãn \(t \in \left( {0;\,\,180} \right)\)).

Vậy \(M\left( {6;\,\,8} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.