Phương trình chính tắc của elip có một tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\). Suy ra \(c = \sqrt 3 \).

Khi đó \({c^2} = 3\)

Vì vậy \({a^2} - {b^2} = 3\)

Do đó \({a^2} = {b^2} + 3\)

Phương trình chính tắc của (E) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a > b > 0).

Ta có \(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \in \left( E \right)\).

Suy ra \(\frac{{{1^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1\)

\( \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{a^2} = 4{a^2}{b^2}\)

\( \Leftrightarrow 4{b^2} + 3\left( {{b^2} + 3} \right) = 4\left( {{b^2} + 3} \right){b^2}\)

\( \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^4} + 12{b^2}\)

\( \Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0\)

\( \Leftrightarrow {b^2} = 1\) hoặc \({b^2} =  - \frac{9}{4}\) (vô lí)

\( \Leftrightarrow b = 1\) (vì \(\left( {b > 0} \right)\)

Với \(b = 1\), ta có \({a^2} = {1^2} + 3 = 4\).

Vậy phương trình chính tắc của (E): \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).