Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên \(k\) sao cho \[C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1}\]. Tính tổng tất cả các phần tử của \(S\).

Hướng dẫn giải

a) \[C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1} \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{k!\left( {14 - k} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {k + 2} \right)!\left( {12 - k} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {13 - k} \right)!}}\]

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right)}} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{2}{{\left( {k + 1} \right)\left( {13 - k} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) + \left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right) = 2\left( {k + 2} \right)\left( {14 - k} \right)\)

\( \Leftrightarrow {k^2} + 3k + 2 + 182 - 27k + {k^2} =  - 2{k^2} + 24k + 56\)

\( \Leftrightarrow 4{k^2} - 48k + 128 = 0\)

\( \Leftrightarrow {k^2} - 12k + 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 8\\k = 4\end{array} \right.\).

Tổng các phần tử của \(S\) là: \(8 + 4 = 12\).

b) Xét \(C_n^2 + \frac{{A_n^3}}{n} = 12\,\,\,\,\left( 1 \right)\)(Điều kiện : \(n \in \mathbb{N},\,\,\,n \ge 3\)).

\(C_n^2 + \frac{{A_n^3}}{n} = 12 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} + \frac{{n!}}{{n.\left( {n - 3} \right)!}} = 12\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + \left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 12\)

\( \Leftrightarrow 3{n^2} - 7n - 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 4\\n =  - \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Do đó \(n = 4\) thoả mãn điều kiện

Với \(n = 4\) ta có

 \({\left( {x - {x^2}} \right)^4} = C_4^0{x^4}{\left( { - {x^2}} \right)^0} + C_4^1{x^3}\left( { - {x^2}} \right) + C_4^2{x^2}{\left( { - {x^2}} \right)^2} + C_4^3x{\left( { - {x^2}} \right)^3} + C_4^4{x^0}{\left( { - {x^2}} \right)^4}\)

\( = {x^4} - 4{x^5} + 6{x^6} - 4{x^7} + {x^8}\).

Vậy hệ số của \({x^7}\) trong khai triển bằng \( - 4\).