II. PHẦN TỰ LUẬN

a) Trong một giải cờ vua gồm nam và nữ vận động viên. Mỗi vận động viên phải chơi hai ván với mỗi vận động viên còn lại. Cho biết có \(2\) vận động viên nữ và cho biết số ván các vận động viên nam chơi với nhau hơn số ván họ chơi với hai vận động viên nữ là \(84\). Hỏi số ván tất cả các vận động viên đã chơi?

b) Tìm hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {1 - {x^2}} \right)^5}\).

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh nữ của lớp là \(n\left( {n \in {\mathbb{N}^*},n \le 28} \right)\).

Suy ra số học sinh nam là \(30 - n\).

Không gian mẫu là chọn bất kì \(3\)  học sinh từ \(30\) học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = C_{30}^3\).

Gọi \(A\) là biến cố Chọn được \(2\) học sinh nam và \(1\)  học sinh nữ.

+ Chọn \(2\) nam trong \(30 - n\) nam, có \(C_{30 - n}^2\) cách.

+ Chọn \(1\) nữ trong \(n\) nữ, có \(C_n^1\) cách.

Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = C_{30 - n}^2.C_n^1\).

Do đó xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{C_{30 - n}^2.C_n^1}}{{C_{30}^3}}\) .

Theo giả thiết, ta có \(P\left( A \right) = \frac{{12}}{{29}} \Leftrightarrow \frac{{C_{30 - n}^2.C_n^1}}{{C_{30}^3}} = \frac{{12}}{{29}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {30 - n} \right)\left( {29 - n} \right)\left( {28 - n} \right)!.n}}{{2!.\left( {28 - n} \right)!}} = 1680\)

\( \Leftrightarrow \left( {30 - n} \right)\left( {29 - n} \right).n = 3360 \Leftrightarrow {n^3} - 59{n^2} + 870n - 3360 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n \approx 38,82\\n = 14\\n \approx 6,18\end{array} \right.\)

Vì \(n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n = 14\)

Vậy số học sinh nữ của lớp là \(14\) học sinh.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4; - 2} \right) = 2\left( {2; - 1} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\).

Khi đó phương trình đường thẳng \(AB\) nhận  \(\left( {1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(1\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 5 = 0\).

b) Ta có: \(A \in {d_1}\) nên \(A\left( {3;a} \right)\), \(\left( {a < 3} \right)\).

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) mà \(ABC\) nội tiếp đường tròn nên \(AC\) là đường kính.

Đường thẳng \({d_1}:x = 3\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1;0} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\left( {0;1} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:x - y + 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1; - 1} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\left( {1;1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(AC\) nhận \(\left( {0;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(y = a\).

Phương trình đường thẳng \(AB\) nhận \(\left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(\left( {x - 3} \right) + \left( {y - a} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y = a + 3\).

Điểm \(C\) là giao của đường thẳng \(AC\) và \({d_2}\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = a\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = a - 3\\y = a\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {a - 3;a} \right)\).

Điểm \(B\) là giao của đường thẳng \(AB\) và \({d_2}\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - a - 3 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{a}{2}\\y = \frac{a}{2} + 3\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2} + 3} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {AB} \left( {\frac{a}{2} - 3; - \frac{a}{2} + 3} \right) \Rightarrow AB = \left| {\frac{a}{2} - 3} \right|\).

\(\overrightarrow {BC} \left( {\frac{a}{2} - 3;\frac{a}{2} - 3} \right) \Rightarrow BC = \left| {\frac{a}{2} - 3} \right|\).

Diện  tích tam giác \(ABC\) bằng \(\frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}{\left( {\frac{a}{2} - 3} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{a}{2} - 3 = 2\sqrt 2 \\\frac{a}{2} - 3 =  - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\\a = 2\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow a = 2\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)\) thỏa mãn điều kiện.

Vậy tọa độ điểm \(A\left( {3;2\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)} \right)\).