a) Trong mặt phẳng \(Oxy\), viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( { - 1;3} \right)\) và \(B\left( {3;1} \right)\).

b) Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({d_1}:x = 3\) và \({d_2}:x - y + 3 = 0\). Một đường tròn tiếp xúc với \({d_1}\) tại \(A\) và cắt \({d_2}\) tại hai điểm \(B\) và \(C\) sao cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Tìm tọa độ điểm \[A\], biết tam giác \(ABC\) có diện tích bằng \(4\) và điểm \(A\) có tung độ nhỏ hơn \(3\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4; - 2} \right) = 2\left( {2; - 1} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\).

Khi đó phương trình đường thẳng \(AB\) nhận  \(\left( {1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(1\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 5 = 0\).

b) Ta có: \(A \in {d_1}\) nên \(A\left( {3;a} \right)\), \(\left( {a < 3} \right)\).

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) mà \(ABC\) nội tiếp đường tròn nên \(AC\) là đường kính.

Đường thẳng \({d_1}:x = 3\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1;0} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\left( {0;1} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:x - y + 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1; - 1} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\left( {1;1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(AC\) nhận \(\left( {0;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(y = a\).

Phương trình đường thẳng \(AB\) nhận \(\left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(\left( {x - 3} \right) + \left( {y - a} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y = a + 3\).

Điểm \(C\) là giao của đường thẳng \(AC\) và \({d_2}\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = a\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = a - 3\\y = a\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {a - 3;a} \right)\).

Điểm \(B\) là giao của đường thẳng \(AB\) và \({d_2}\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - a - 3 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{a}{2}\\y = \frac{a}{2} + 3\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2} + 3} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {AB} \left( {\frac{a}{2} - 3; - \frac{a}{2} + 3} \right) \Rightarrow AB = \left| {\frac{a}{2} - 3} \right|\).

\(\overrightarrow {BC} \left( {\frac{a}{2} - 3;\frac{a}{2} - 3} \right) \Rightarrow BC = \left| {\frac{a}{2} - 3} \right|\).

Diện  tích tam giác \(ABC\) bằng \(\frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}{\left( {\frac{a}{2} - 3} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{a}{2} - 3 = 2\sqrt 2 \\\frac{a}{2} - 3 =  - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\\a = 2\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow a = 2\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)\) thỏa mãn điều kiện.

Vậy tọa độ điểm \(A\left( {3;2\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)} \right)\).