PHẦN TỰ LUẬN

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy\], cho đường thẳng \(d:3x - 4y - 1 = 0\) và điểm \(I\left( {1;\, - 2} \right)\). Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn có tâm \(I\)  và cắt đường thẳng \(d\) tại hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(IAB\) có diện tích bằng \(4\). Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\).

Kẻ \(IH \bot d\). Khi đó

\(IH = d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2\).

Diện tích tam giác \(IAB\) là: \({S_{IAB}} = \frac{1}{2}.AB.IH = \frac{1}{2}.AB.2 = AB\).

Mặt khác tam giác \(IAB\) có diện tích bằng \(4\) nên \(AB = 4\).

\( \Rightarrow AH = BH = \frac{{AB}}{2} = \frac{4}{2} = 2\).

Xét tam giác \(IAH\) vuông tại \(H\), có:

\(IA = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \).

Do đó bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) là \(R = 2\sqrt 2 \).

Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8\).