a) Tính tích \(P\) của tất cả các giá trị của \(x\) thỏa mãn \(C_{14}^x + C_{14}^{x + 2} = 2C_{14}^{x + 1}\).

b) Giải phương trình: \(\sqrt {{x^2} - 7x}  = \sqrt { - 9{x^2} - 8x + 3} \).

Hướng dẫn giải

a) Xét \(C_{14}^x + C_{14}^{x + 2} = 2C_{14}^{x + 1}\left( {x \le 12} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{x!\left( {14 - x} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {x + 2} \right)!.\left( {14 - x - 2} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {x + 1} \right)!\left( {14 - x - 1} \right)!}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{x!\left( {14 - x} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {x + 2} \right)!.\left( {12 - x} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {x + 1} \right)!\left( {13 - x} \right)!}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{x!\left( {12 - x} \right)!}}\left( {\frac{1}{{\left( {14 - x} \right)\left( {13 - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right) = 2.\frac{{14!}}{{x!\left( {12 - x} \right)!}}.\frac{1}{{\left( {x + 1} \right).\left( {13 - x} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {14 - x} \right)\left( {13 - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{2}{{\left( {x + 1} \right).\left( {13 - x} \right)}}\)

\[ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {14 - x} \right)\left( {13 - x} \right) = 2\left( {14 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 + {x^2} - 27x + 182 =  - 2{x^2} + 24x + 56\]

\[ \Leftrightarrow 4{x^2} - 48x + 128 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 8\end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tích \(P = 4.8 = 32\).

b) \(\sqrt {{x^2} - 7x}  = \sqrt { - 9{x^2} - 8x + 3} \)

\( \Rightarrow {x^2} - 7x =  - 9{x^2} - 8x + 3\)

\( \Rightarrow 10{x^2} + x - 3 = 0\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x =  - \frac{3}{5}\end{array} \right.\)

Thay lần lượt \(x = \frac{1}{2}\) và \(x =  - \frac{3}{5}\) vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ có \(x =  - \frac{3}{5}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - \frac{3}{5}} \right\}\).