Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = x\left( {cm} \right),\,\left( {x > 0} \right)\),  độ dài \(AB\) ngắn hơn \(AC\) là \(2\,\,cm\) và độ dài \(BC\) lớn hơn \(AC\) là \(3\,cm\). Giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình nào dưới đây?

Hướng dẫn giải

Gọi \[I\left( { - 2t + 3;\,t} \right) \in d\] là tâm của đường tròn \[\left( C \right)\].

Theo giả thiết, ta có:

\[d\left( {I,\,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2t + 3 + 3t - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5} \Leftrightarrow \frac{{\left| {t - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\\t =  - 2\end{array} \right.\]

+) Với \[t = 6 \Rightarrow I\left( { - 9;\,6} \right)\], mà \[R = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}\] nên phương trình đường tròn là \[\left( C \right):{\left( {x + 9} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = \frac{8}{5}\].

+) Với \[t =  - 2 \Rightarrow I\left( {7;\, - 2} \right)\], mà \[R = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}\] nên phương trình đường tròn là \[\left( C \right):{\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = \frac{8}{5}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số cần tìm là \(\overline {abc} \,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Để số đó chia hết cho \(6\) thì số đó vừa chia hết cho \(2\) và \(3\).

Do đó số cần tìm là số chẵn nên \(c \in \left\{ {0;2;4} \right\}\).

+) TH1 \(c = 0\):

Ta có các bộ số có tổng chia hết cho \(3\) là:

\(\left( {0;\,\,1;\,\,2} \right),\,\left( {0;\,\,1;\,\,5} \right),\,\,\left( {0;\,\,2;\,\,4} \right),\,\,\left( {0;\,\,4;\,\,5} \right)\).

Do đó có \(1 + 1 + 1 + 1 = 4\) số.

+) TH2 \(c = 2\):

Ta có các bộ số có tổng chia hết cho \(3\) là:

\(\left( {0;\,\,1;\,\,2} \right),\,\,\left( {0;\,\,2;\,\,4} \right),\,\,\left( {1;\,\,2;\,\,3} \right),\,\left( {2;3;4} \right)\).

Do đó có \(1 + 1 + 2! + 2! = 6\) số.

+) TH3 \(c = 4\):

Ta có các bộ số có tổng chia hết cho \(3\) là:

\(\,\left( {0;\,\,2;\,\,4} \right),\,\,\left( {0;5;4} \right),\,\,\left( {2;3;4} \right),\left( {3;4;5} \right)\).

Do đó có \(1 + 1 + 2! + 2! = 6\) số.

Vậy \(4 + 6 + 6 = 16\) số.