Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = x\left( {cm} \right),\,\left( {x > 0} \right)\),  độ dài \(AB\) ngắn hơn \(AC\) là \(2\,\,cm\) và độ dài \(BC\) lớn hơn \(AC\) là \(3\,cm\). Giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình nào dưới đây?

Hướng dẫn giải

Gọi \[I\left( { - 2t + 3;\,t} \right) \in d\] là tâm của đường tròn \[\left( C \right)\].

Theo giả thiết, ta có:

\[d\left( {I,\,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2t + 3 + 3t - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5} \Leftrightarrow \frac{{\left| {t - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\\t =  - 2\end{array} \right.\]

+) Với \[t = 6 \Rightarrow I\left( { - 9;\,6} \right)\], mà \[R = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}\] nên phương trình đường tròn là \[\left( C \right):{\left( {x + 9} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = \frac{8}{5}\].

+) Với \[t =  - 2 \Rightarrow I\left( {7;\, - 2} \right)\], mà \[R = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}\] nên phương trình đường tròn là \[\left( C \right):{\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = \frac{8}{5}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1}:mx + y - 19 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_{{\Delta _1}}} = \left( {m;\,1} \right)\\{\Delta _2}:\left( {m - 1} \right)x + \left( {m + 1} \right)y - 20 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_{{\Delta _2}}} = \left( {m - 1;\,m + 1} \right)\end{array} \right.\]

Để \[{\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Rightarrow m\left( {m - 1} \right) + 1\left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow m \in \emptyset \].

Vậy nên không có giá trị nào của \[m\] thỏa mãn điều kiện.