Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(AB:x + y - 1 = 0\), \(AC:7x - y + 2 = 0\) và \(BC:10x + y - 19 = 0\). Phương trình đường phân giác trong tại đỉnh \(A\) là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tọa độ điểm \(C\) là giao điểm của \(AC\) và \(BC\) nên là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}7x - y + 2 = 0\\10x + y - 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 9\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;9} \right)\).

Tọa độ điểm \(B\) là giao điểm của \(AB\) và \(BC\) nên là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\10x + y - 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2; - 1} \right)\).

Gọi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc đường phân giác tại đỉnh \(A\), khi đó ta có:

\(d\left( {M;AB} \right) = d\left( {M;AC} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {x + y - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {7x - y + 2} \right|}}{{5\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5\left( {x + y - 1} \right) = 7x - y + 2\\5\left( {x + y - 1} \right) =  - 7x + y - 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 6y + 7 = 0\\12x + 4y - 3 = 0\end{array} \right.\)

+) Xét \(f\left( {x;y} \right) = 2x - 6y + 7\)

Tại \(B\left( {2; - 1} \right)\) có \(f\left( {2; - 1} \right) = 2.2 - 6.\left( { - 1} \right) + 7 = 17 > 0\)

Tại  \(C\left( {1;9} \right)\) có \(f\left( {1;9} \right) = 2.1 - 6.9 + 7 =  - 45 < 0\).

Do đó \(B\) và \(C\) khác phía với đường thẳng \(2x - 6y + 7 = 0\).

+) Xét \(f\left( {x;y} \right) = 12x + 4y - 3\)

Tại \(B\left( {2; - 1} \right)\) có \(f\left( {2; - 1} \right) = 12.2 + 4.\left( { - 1} \right) - 3 = 17 > 0\)

Tại  \(C\left( {1;9} \right)\) có \(f\left( {1;9} \right) = 12.1 + 4.9 - 3 = 45 > 0\).

Do đó \(B\) và \(C\) khác phía với đường thẳng \(12x + 4y - 3 = 0\).

Vậy phương trình đường phân giác trong tại đỉnh \(A\) là \(2x - 6y + 7 = 0\).