Cho phương trình \[{x^2} + {y^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 4y - 1 = 0\left( * \right)\]. Tìm điều kiện của \[m\] để \[\left( * \right)\] là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?

Hướng dẫn giải

Gọi \[I\left( { - 2t + 3;\,t} \right) \in d\] là tâm của đường tròn \[\left( C \right)\].

Theo giả thiết, ta có:

\[d\left( {I,\,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2t + 3 + 3t - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5} \Leftrightarrow \frac{{\left| {t - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\\t =  - 2\end{array} \right.\]

+) Với \[t = 6 \Rightarrow I\left( { - 9;\,6} \right)\], mà \[R = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}\] nên phương trình đường tròn là \[\left( C \right):{\left( {x + 9} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = \frac{8}{5}\].

+) Với \[t =  - 2 \Rightarrow I\left( {7;\, - 2} \right)\], mà \[R = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}\] nên phương trình đường tròn là \[\left( C \right):{\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = \frac{8}{5}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1}:mx + y - 19 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_{{\Delta _1}}} = \left( {m;\,1} \right)\\{\Delta _2}:\left( {m - 1} \right)x + \left( {m + 1} \right)y - 20 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_{{\Delta _2}}} = \left( {m - 1;\,m + 1} \right)\end{array} \right.\]

Để \[{\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Rightarrow m\left( {m - 1} \right) + 1\left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow m \in \emptyset \].

Vậy nên không có giá trị nào của \[m\] thỏa mãn điều kiện.