(0,75 điểm). Cho phương trình \({x^2} - 19x + 9 = 0\) có hai nghiệm phân biệt dương \({x_1},\;{x_2}.\) Không tính \({x_1},\;{x_2}\), chứng minh hai số \(a = \sqrt {{x_1}} + 3\sqrt {{x_2}} \) và \(b = \sqrt {{x_2}} + 3\sqrt {{x_1}} \) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 20x + 87 = 0.\)

(2,5 điểm). Cho đường tròn \((O)\) đường kính \(BC,\) điểm \(A\) nằm trên đường tròn \((O)\) sao cho \(AB < AC\,\)\((A\) khác \(B).\) Kẻ đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC\) \((H \in BC).\) Qua điểm \(O\) kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(AB\) tại điểm \(D\,.\)

a) Chứng minh bốn điểm \(A,\,\;D,\;\,H,\,\;O\) cùng nằm trên một đường tròn;

b) Điểm \(I\) là giao điểm của các đường thẳng \(AH\)và \(OD\). Đường thẳng \(BI\) cắt đường thẳng \(AC\) tại điểm \(F.\) Tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn \((O)\) cắt đường thẳng \(AC\) tại điểm \(M.\) Chứng minh \(A{B^2} = AH.BM\) và \(AM = AF;\)

c) Qua điểm \(I\) kẻ đường thẳng \((d)\) song song với đường thẳng \(AO,\) qua điểm \(B\) kẻ đường thẳng \((d')\) song song với đường thẳng \(AC,\) hai đường thẳng \((d)\) và \((d')\) cắt nhau tại \(K.\) Chứng minh tam giác \(KFC\) cân.

(1,0 điểm). Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng \(12\;m.\) Ở chính giữa mảnh đất người ta làm một vườn hoa hình vuông cạnh bằng \(2\;m\) (minh họa hình bên). Biết diện tích còn lại của mảnh đất (không tính phần đất làm vườn hoa) là \(104\;{m^2},\) tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

PHẦN II. TỰ LUẬN (7 ĐIỂM)

 (0,75 điểm). Rút gọn biểu thức \(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right).\frac{1}{{2\sqrt x }}\,\,\) với \(x > 0,\,\;x \ne 4.\)

(0,75 điểm). Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 5\\3x - y = 1.\end{array} \right.\)

(0,75 điểm). Giải bất phương trình \(\frac{{5 + 4x}}{2} + \frac{{x + 1}}{6} > 1 + 3x.\)