Một tổ có \(24\) học sinh nam và \(18\) học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn \(5\) học sinh làm ban cán sự lớp, trong đó có đúng \(2\) học sinh nam?

Hướng dẫn giải

Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \) là số thỏa yêu cầu bài toán thì \({a_3} + {a_4} + {a_5} = 8\).

Có hai bộ \(3\) số có tổng bằng \(8\) trong các số \(1;2;3;...;9\) là: \(\left\{ {1;2;5} \right\}\)và \(\left\{ {1;3;4} \right\}\)

Nếu \({a_3};{a_4};{a_5} \in \left\{ {1;2;5} \right\}\) thì \({a_3},{a_4},{a_5}\) có \(3!\) cách chọn và \({a_1},{a_2},{a_6}\) có \(A_6^3\) cách chọn suy ra có \(3!A_6^3 = 720\) số thỏa mãn yêu cầu.

Nếu \({a_3};{a_4};{a_5} \in \left\{ {1;2;5} \right\}\) tương tự ta cũng có \(720\) số thỏa yêu cầu.

Vậy có \(720 + 720 = 1400\) số thỏa yêu cầu.

b) Điều kiện: \[n \ge 2,n \in {\mathbb{N}^*}\]

\[C_n^1 + C_n^2 = 15 \Leftrightarrow n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 15 \Leftrightarrow {n^2} + n - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 5}\\{n =  - 6}\end{array}} \right. \Rightarrow n = 5\]

Khi đó,

\[{\left( {x + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5} = C_5^0{x^5}{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^0} + C_5^1{x^4}\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right) + C_5^2{x^3}{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^2} + C_5^3{x^2}{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^3} + C_5^4x{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^4} + C_5^5{x^0}{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5}\]\( = {x^5} + 10 + \frac{{40}}{{{x^5}}} + \frac{{80}}{{{x^{10}}}} + \frac{{80}}{{{x^{15}}}} + \frac{{32}}{{{x^{20}}}}\)

Suy hệ số của số hạng không chứa \[x\] trong khai triển \({\left( {x + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5}\) là \(10\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Khoảng thời gian cá heo trên mặt nước tương ứng với \[h\left( t \right) > 0\].

Ta có \[h\left( t \right) =  - 4,9{t^2} + 9,6t\] là tam thức bậc hai có \(\Delta  = {9,6^2} - 4\left( { - 4,9} \right).0 = 92,16 > 0\) nên \(h\left( t \right)\) có hai nghiệm \({t_1} = 0,{t_2} \approx 2\) và \(a =  - 4,9 < 0\) suy ra theo định lí về dấu ta có:

\[h\left( t \right) > 0\] với \(t \in \left( {0;2} \right)\).

Vậy khoảng thời gian cé heo ở trên mặt nước là \(2\) giây.